Subgroups — #34493

Order 256.

1538 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 248 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2375	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2363	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2324	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2321	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2309	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
13	D₄²	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#390	C₂²	1	2	yes	—
25	#390	C₂²	1	4	yes	—
26	#390	C₂²	1	2	yes	—
27	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
46	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
47	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
48	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
49	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
50	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
53	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
54	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
55	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
62	#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	#121	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
64	#120	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
65	C₄×D₄	—	4	8	no	—
66	C₄×D₄	—	4	8	no	—
67	C₄×D₄	—	4	4	no	—
68	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
69	#117	—	4	8	no	—
70	#117	—	4	8	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#95	C₂³	1	4	yes	—
99	#95	C₂³	1	4	yes	—
100	#95	C₂³	1	8	yes	—
101	#95	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂⁴	—	4	4	no	—
103	C₂⁴	—	4	8	no	—
104	C₂⁴	—	4	8	no	—
105	C₂⁴	—	4	4	no	—
106	C₂⁴	C₂²×C₄	1	16	yes	—
107	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
109	C₂×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂×D₄	—	4	64	no	—
114	C₂×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂×D₄	—	4	8	no	—
116	C₂×D₄	—	4	8	no	—
117	C₂×D₄	—	4	2	no	—
118	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
119	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
120	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
122	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
127	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
145	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
155	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
156	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
157	C₄²	—	2	4	no	—
158	C₄²	—	2	8	no	—
159	C₄²	—	2	2	no	—
160	C₄²	—	2	4	no	—
161	C₄²	—	4	1	no	—
162	C₄²	—	4	8	no	—
163	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂³	—	2	4	no	—
165	C₂³	—	2	4	no	—
166	C₂³	—	2	4	no	—
167	C₂³	—	2	4	no	—
168	C₂³	—	2	8	no	—
169	C₂³	—	2	8	no	—
170	C₂³	—	2	4	no	—
171	C₂³	—	2	4	no	—
172	C₂³	—	2	4	no	—
173	C₂³	—	2	4	no	—
174	C₂³	—	4	32	no	—
175	C₂³	—	4	16	no	—
176	C₂³	—	8	8	no	—
177	C₂³	—	8	16	no	—
178	C₂³	—	8	8	no	—
179	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
180	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
181	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
182	D₄	—	2	16	no	—
183	D₄	—	2	32	no	—
184	D₄	—	4	32	no	—
185	D₄	—	4	8	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄	—	2	32	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	8	8	no	—
206	C₂×C₄	—	8	8	no	—
207	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
209	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
212	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
213	C₂²	—	2	8	no	—
214	C₂²	—	2	8	no	—
215	C₂²	—	2	16	no	—
216	C₂²	—	2	8	no	—
217	C₂²	—	2	8	no	—
218	C₂²	—	4	4	no	—
219	C₂²	—	4	4	no	—
220	C₂²	—	4	8	no	—
221	C₂²	—	4	4	no	—
222	C₂²	—	4	4	no	—
223	C₂²	—	4	4	no	—
224	C₂²	—	4	4	no	—
225	C₂²	—	8	32	no	—
226	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
228	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
229	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
230	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
231	C₄	—	2	8	no	—
232	C₄	—	2	2	no	—
233	C₄	—	2	2	no	—
234	C₄	—	4	4	no	—
235	C₄	—	4	2	no	—
236	C₄	—	4	4	no	—
237	C₄	—	4	1	no	—
238	C₄	—	4	4	no	—
239	C₄	#518	1	8	yes	—
240	C₂	—	4	8	no	—
241	C₂	—	4	8	no	—
242	C₂	C₂×#518	1	2	yes	—
243	C₂	C₄×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	C₂	#3543	1	1	yes	characteristic
245	C₂	#3546	1	2	yes	—
246	C₂	#3549	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×D₄²	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2375	C₂	semidirect
3. #2366	C₂	semidirect
4. #2363	C₂	semidirect
5. #2354	C₂	semidirect
6. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. #2324	C₂	semidirect
8. #2321	C₂	semidirect
9. #2309	C₂	semidirect
10. C₄×#127	C₂	semidirect
11. #2293	C₂	semidirect
13. D₄²	C₄	semidirect
18. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
19. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
20. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
21. C₂×#117	C₂²	semidirect
22. C₂×#117	C₂²	semidirect
23. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
27. #390	C₂²	semidirect
28. #390	C₂²	semidirect
29. #390	C₂²	semidirect
30. #390	C₂²	semidirect
31. #390	C₂²	semidirect
32. #389	C₂²	semidirect
33. #389	C₂²	semidirect
34. #388	C₂²	semidirect
35. #388	C₂²	semidirect
36. #388	C₂²	semidirect
37. #388	C₂²	semidirect
38. #386	C₂²	semidirect
39. #386	C₂²	semidirect
40. #386	C₂²	semidirect
41. #385	C₂²	semidirect
42. #384	C₂²	semidirect
43. #380	C₂²	semidirect
44. #379	C₂²	semidirect
45. #379	C₂²	semidirect
46. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
47. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
48. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
49. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
50. C₄³	C₂²	semidirect
54. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
63. #121	C₂×C₄	semidirect
64. #120	C₂×C₄	semidirect
68. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄²	2
#2375	2
#2366	2
#2363	2
#2354	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2324	2
#2321	2
#2309	2
C₄×#127	2
#2293	2