Subgroups — #34593

Order 256.

1467 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2636	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2633	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2631	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2626	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2623	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2617	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2613	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2398	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2397	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2392	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₄×#120	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#529	—	2	8	no	—
18	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
34	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	4	yes	—
46	#394	C₂²	1	4	yes	—
47	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#392	C₂²	1	4	yes	—
50	#392	C₂²	1	4	yes	—
51	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#386	C₂²	1	4	yes	—
53	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#385	C₂²	1	4	yes	—
55	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#381	C₂²	1	2	yes	—
59	#380	C₂²	1	2	yes	—
60	#379	C₂²	1	4	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
62	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
64	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
68	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
75	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#126	—	2	8	no	—
84	#125	—	2	4	no	—
85	#124	—	2	4	no	—
86	#123	—	2	8	no	—
87	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
88	#121	—	2	4	no	—
89	#120	—	2	16	no	—
90	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
91	C₄×D₄	—	2	8	no	—
92	C₄×D₄	—	2	8	no	—
93	C₄×D₄	—	2	8	no	—
94	C₄×D₄	—	2	8	no	—
95	C₄×D₄	—	2	8	no	—
96	C₄×D₄	—	2	4	no	—
97	C₄×D₄	—	4	16	no	—
98	#117	—	2	8	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
123	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	#95	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	#95	C₂³	1	8	yes	—
134	#95	C₂³	1	8	yes	—
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂⁴	—	2	4	no	—
137	C₂⁴	—	2	4	no	—
138	C₂⁴	—	4	4	no	—
139	C₂⁴	—	4	4	no	—
140	C₂⁴	#41	1	8	yes	—
141	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
146	C₂×D₄	—	2	32	no	—
147	C₂×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂×D₄	—	2	16	no	—
151	C₂×D₄	—	2	8	no	—
152	C₂×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	4	no	—
154	C₂×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂×D₄	—	4	8	no	—
156	C₂×D₄	—	4	2	no	—
157	C₂×D₄	—	4	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
206	C₄²	—	2	4	no	—
207	C₄²	—	2	8	no	—
208	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	16	no	—
215	C₂³	—	2	4	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	8	no	—
218	C₂³	—	2	8	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	4	16	no	—
224	C₂³	—	4	8	no	—
225	C₂³	—	4	8	no	—
226	C₂³	—	4	16	no	—
227	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂×#41	1	8	yes	—
229	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
231	Q₈	—	4	4	no	—
232	D₄	—	2	16	no	—
233	D₄	—	2	16	no	—
234	D₄	—	4	4	no	—
235	D₄	—	4	32	no	—
236	D₄	—	4	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	16	no	—
257	C₂×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	2	8	no	—
270	C₂²	—	2	8	no	—
271	C₂²	—	2	16	no	—
272	C₂²	—	4	32	no	—
273	C₂²	—	4	4	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	8	no	—
276	C₂²	—	4	2	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	4	8	no	—
280	C₂²	#525	1	4	yes	—
281	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
283	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
284	C₂²	#585	1	2	yes	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	4	2	no	—
291	C₄	—	4	2	no	—
292	C₄	—	4	4	no	—
293	C₄	—	4	2	no	—
294	C₄	—	4	8	no	—
295	C₄	#535	1	4	yes	—
296	C₂	—	2	4	no	—
297	C₂	—	4	8	no	—
298	C₂	—	8	2	no	—
299	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
300	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#3459	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#529	C₂	semidirect
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. #2636	C₂	semidirect
4. #2633	C₂	semidirect
5. #2631	C₂	semidirect
6. #2626	C₂	semidirect
7. #2623	C₂	semidirect
8. #2617	C₂	semidirect
9. #2613	C₂	semidirect
10. #2398	C₂	semidirect
11. #2397	C₂	semidirect
12. #2392	C₂	semidirect
13. C₄×#120	C₂	semidirect
14. #2283	C₂	semidirect
18. C₂×#126	C₂²	semidirect
19. C₂×#125	C₂²	semidirect
20. C₂×#124	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
34. C₂×#117	C₂²	semidirect
38. #400	C₂²	semidirect
39. #399	C₂²	semidirect
40. #399	C₂²	semidirect
41. #398	C₂²	semidirect
42. #397	C₂²	semidirect
43. #397	C₂²	semidirect
44. #396	C₂²	semidirect
47. #394	C₂²	semidirect
48. #393	C₂²	semidirect
51. #392	C₂²	semidirect
53. #386	C₂²	semidirect
55. #385	C₂²	semidirect
56. #383	C₂²	semidirect
57. #382	C₂²	semidirect
61. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
63. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
64. #376	C₂²	semidirect
123. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2636	2
#2633	2
#2631	2
#2626	2
#2623	2
#2617	2
#2613	2
#2398	2
#2397	2
#2392	2
C₄×#120	2
#2283	2