Subgroups — #34742

Order 256.

1369 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2423	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2422	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2420	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2419	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2418	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2395	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#123	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#525	—	2	8	no	—
19	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#41	—	2	8	no	—
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#399	C₂²	1	4	yes	—
39	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#397	C₂²	1	4	yes	—
41	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#394	C₂²	1	4	yes	—
44	#394	C₂²	1	4	yes	—
45	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	4	yes	—
52	#388	C₂²	1	4	yes	—
53	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#386	C₂²	1	4	yes	—
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#385	C₂²	1	4	yes	—
58	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#381	C₂²	1	2	yes	—
62	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#380	C₂²	1	4	yes	—
64	#380	C₂²	1	2	yes	—
65	#380	C₂²	1	2	yes	—
66	#379	C₂²	1	2	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
76	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#41	—	2	4	no	—
79	C₂×#41	—	2	4	no	—
80	C₂×#41	D₄	1	8	yes	—
81	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#123	—	2	8	no	—
97	#123	—	2	16	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
99	#121	—	2	8	no	—
100	#120	—	2	8	no	—
101	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₄×D₄	—	2	16	no	—
103	C₄×D₄	—	2	8	no	—
104	C₄×D₄	—	2	16	no	—
105	#117	—	2	4	no	—
106	#117	—	2	4	no	—
107	#117	—	2	8	no	—
108	#117	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#95	C₂³	1	2	yes	—
148	#95	C₂³	1	2	yes	—
149	#95	C₂³	1	2	yes	—
150	#95	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	C₂⁴	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	2	no	—
162	C₂⁴	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	4	2	no	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	#41	—	2	32	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	complemented
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	8	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	4	8	no	—
265	C₂³	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	2	8	no	—
275	D₄	—	2	16	no	—
276	D₄	—	2	8	no	—
277	D₄	—	4	16	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	16	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	16	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	#123	1	16	yes	complemented
311	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	8	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	4	16	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	C₂×#123	1	4	yes	—
338	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
342	C₂²	#585	1	2	yes	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
354	C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
355	C₂	—	2	4	no	—
356	C₂	—	4	4	no	—
357	C₂	—	4	4	no	—
358	C₂	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#3444	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#3455	1	1	yes	characteristic
361	C₂	D₄×#41	1	2	yes	—
362	C₂	#3475	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
3. #2423	C₂	semidirect
4. #2422	C₂	semidirect
5. #2421	C₂	semidirect
6. #2420	C₂	semidirect
7. #2419	C₂	semidirect
8. #2418	C₂	semidirect
9. #2395	C₂	semidirect
10. C₄×#123	C₂	semidirect
11. #2297	C₂	semidirect
12. #2296	C₂	semidirect
13. #2285	C₂	semidirect
14. #2280	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
25. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂×#117	C₂²	semidirect
36. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
37. #400	C₂²	semidirect
39. #398	C₂²	semidirect
41. #397	C₂²	semidirect
42. #397	C₂²	semidirect
45. #391	C₂²	semidirect
46. #391	C₂²	semidirect
47. #390	C₂²	semidirect
48. #390	C₂²	semidirect
49. #389	C₂²	semidirect
50. #389	C₂²	semidirect
53. #387	C₂²	semidirect
54. #387	C₂²	semidirect
58. #385	C₂²	semidirect
59. #384	C₂²	semidirect
60. #382	C₂²	semidirect
62. #381	C₂²	semidirect
67. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
68. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
69. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
75. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
240. C₂²⋊C₄	#41	semidirect
310. C₂×C₄	#123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
C₂×C₄×#41	2
#2423	2
#2422	2
#2421	2
#2420	2
#2419	2
#2418	2
#2395	2
C₄×#123	2
#2297	2
#2296	2
#2285	2
#2280	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2