Subgroups — #347642

Order 512.

1180 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#32903	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1668	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9222	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9133	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8645	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#466	—	2	1	no	—
12	C₂×#466	—	2	1	no	—
13	C₂×#460	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#448	—	2	2	no	—
15	C₂×C₈×Q₈	—	2	8	no	—
16	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
17	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
18	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
21	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2856	C₂²	1	2	yes	—
25	#1970	—	2	1	no	—
26	#1970	—	2	1	no	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1880	—	2	4	no	—
29	#1874	—	2	2	no	—
30	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1803	C₂²	1	4	yes	—
32	#1797	C₂²	1	2	yes	—
33	#1668	—	2	8	no	—
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
36	#1296	C₂²	1	4	yes	—
37	#1277	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#493	—	2	4	no	—
60	#466	—	4	4	no	—
61	#466	—	4	4	no	—
62	#460	—	2	8	no	—
63	#460	—	2	8	no	—
64	#448	—	4	8	no	—
65	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
66	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
67	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
68	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
69	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
70	C₈×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#107	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#103	—	2	4	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	—	2	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#390	—	2	2	no	—
94	#390	—	2	2	no	—
95	#390	—	2	2	no	—
96	#384	C₂³	1	2	yes	—
97	#340	—	2	4	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#335	—	2	4	no	—
100	#331	—	2	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	D₈	1	4	yes	complemented
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
116	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×D₈	—	4	2	no	—
120	C₂×D₈	—	4	2	no	—
121	C₂×D₈	—	4	2	no	—
122	C₂×D₈	—	4	2	no	—
123	C₂×D₈	—	4	2	no	—
124	C₂×D₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
135	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	#127	—	2	4	no	—
141	#127	—	2	4	no	—
142	#121	—	4	4	no	—
143	#121	—	4	4	no	—
144	#121	—	4	4	no	—
145	#121	—	4	4	no	—
146	#121	—	8	4	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	#107	—	4	2	no	—
179	#107	—	4	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	#103	—	4	8	no	—
188	#102	—	4	4	no	—
189	#102	—	4	4	no	—
190	#102	—	4	8	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	8	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	—	2	2	no	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂⁴	—	4	2	no	—
199	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
209	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
210	C₂×Q₈	#135	1	4	yes	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	8	2	no	—
223	C₂×D₄	—	8	2	no	—
224	C₂×D₄	—	8	4	no	—
225	C₂×D₄	—	8	4	no	—
226	C₂×D₄	—	8	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	SD₁₆	—	8	16	no	—
256	D₈	—	8	4	no	—
257	D₈	—	8	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	8	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	8	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
279	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
289	C₄⋊C₄	#121	1	4	yes	—
290	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
293	C₄²	—	2	8	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	1	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
302	C₂³	—	2	1	no	—
303	C₂³	—	2	1	no	—
304	C₂³	—	2	1	no	—
305	C₂³	—	2	1	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	—	8	2	no	—
309	C₂³	—	8	2	no	—
310	C₂³	—	8	2	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	#460	1	2	yes	—
314	C₂³	#466	1	2	yes	—
315	C₂³	#472	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	2	16	no	—
318	Q₈	—	2	4	no	—
319	Q₈	—	2	4	no	—
320	Q₈	—	2	4	no	—
321	Q₈	#466	1	8	yes	complemented
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	D₄	—	8	2	no	—
325	D₄	—	8	2	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	D₄	—	16	4	no	—
329	D₄	—	16	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	16	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	#460	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
370	C₈	—	2	2	no	—
371	C₈	—	2	2	no	—
372	C₈	—	4	1	no	—
373	C₈	—	4	4	no	—
374	C₈	—	8	4	no	—
375	C₈	#448	1	4	yes	complemented
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	16	2	no	—
383	C₂²	—	16	2	no	—
384	C₂²	—	16	2	no	—
385	C₂²	—	16	2	no	—
386	C₂²	—	16	2	no	—
387	C₂²	—	16	2	no	—
388	C₂²	—	16	2	no	—
389	C₂²	#1668	1	4	yes	complemented
390	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#3037	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3050	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂×#472	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3067	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	8	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	4	1	no	—
402	C₄	—	4	4	no	—
403	C₄	—	16	2	no	—
404	C₄	C₂×#448	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#3006	1	1	yes	characteristic
406	C₄	C₂×#466	1	2	yes	—
407	C₄	#3050	1	2	yes	—
408	C₄	#3103	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#3112	1	1	yes	characteristic
410	C₂	—	2	4	no	—
411	C₂	—	32	2	no	—
412	C₂	C₂×#1668	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#19114	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#19261	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#19264	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#32903	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#32930	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#32942	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₈×Q₈	C₂	semidirect
3. #32903	C₂	semidirect
4. C₂×#1668	C₂	semidirect
5. #9222	C₂	semidirect
6. #9133	C₂	semidirect
7. #8645	C₂	semidirect
8. #8596	C₂	semidirect
70. C₈×Q₈	D₄	semidirect
105. C₂²×Q₈	D₈	semidirect
135. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect
321. Q₈	#466	semidirect
375. C₈	#448	semidirect
389. C₂²	#1668	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×Q₈	2
#33171	2
#32903	2
C₂×#1668	2
#9222	2
#9133	2
#8645	2
#8596	2