Subgroups — #347653

Order 512.

1318 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 422 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#32956	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1675	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9215	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9127	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8644	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂⁴×C₈	—	2	1	no	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂×#476	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₈×D₄	—	2	8	no	—
14	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
15	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2857	C₂²	1	2	yes	—
22	#1990	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#1942	—	2	1	no	—
24	#1942	—	2	1	no	—
25	#1864	—	2	4	no	—
26	#1853	—	2	2	no	—
27	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#1808	—	2	1	no	—
29	#1808	—	2	1	no	—
30	#1802	C₂²	1	4	yes	—
31	#1797	C₂²	1	2	yes	—
32	#1786	—	2	2	no	—
33	#1675	—	2	8	no	—
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1296	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1277	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
41	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
43	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
45	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
46	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#500	—	2	4	no	—
60	#476	—	2	8	no	—
61	#476	—	2	8	no	—
62	C₈×D₄	—	2	8	no	—
63	C₈×D₄	—	2	8	no	—
64	C₈×D₄	—	2	4	no	—
65	C₈×D₄	—	2	4	no	—
66	C₈×D₄	—	2	4	no	—
67	C₈×D₄	D₄	1	8	yes	—
68	C₂×#107	—	2	1	no	—
69	C₂×#107	—	2	1	no	—
70	C₂×#107	—	2	1	no	—
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#106	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#102	—	2	4	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#391	—	2	2	no	—
89	#389	—	2	2	no	—
90	#389	—	2	2	no	—
91	#384	C₂³	1	2	yes	—
92	#380	—	2	2	no	—
93	#380	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	2	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#335	—	2	4	no	—
99	#333	—	2	8	no	—
100	C₂⁵	—	2	1	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	Q₁₆	1	4	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	32	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	4	no	—
146	C₄×D₄	—	2	8	no	—
147	C₄×D₄	—	2	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₄×D₄	#41	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	#107	—	4	2	no	—
174	#107	—	4	2	no	—
175	#107	—	4	2	no	—
176	#107	—	4	2	no	—
177	#106	—	4	8	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	#102	—	4	8	no	—
184	#102	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	#95	—	4	2	no	—
193	#95	—	4	2	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	4	no	—
196	C₂⁴	—	2	2	no	—
197	C₂⁴	—	2	4	no	—
198	C₂⁴	—	4	2	no	—
199	C₂⁴	—	4	2	no	—
200	C₂⁴	—	4	2	no	—
201	C₂⁴	—	4	2	no	—
202	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	2	16	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
215	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
216	C₂×D₄	#135	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	16	no	—
266	C₂×C₈	—	4	8	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	16	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
288	C₄⋊C₄	#121	1	4	yes	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
293	C₄²	—	2	1	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
299	C₂³	—	2	1	no	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	1	no	—
302	C₂³	—	2	1	no	—
303	C₂³	—	2	16	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	4	8	no	—
308	C₂³	—	4	8	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	#461	1	2	yes	—
318	C₂³	#467	1	2	yes	—
319	C₂³	#472	1	2	yes	—
320	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	16	4	no	—
322	D₄	—	2	16	no	—
323	D₄	—	2	4	no	—
324	D₄	—	2	4	no	—
325	D₄	—	2	4	no	—
326	D₄	#467	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	1	no	—
342	C₂×C₄	—	2	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	16	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	#461	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#467	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
371	C₈	—	2	2	no	—
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	4	4	no	—
374	C₈	—	4	1	no	—
375	C₈	—	8	4	no	—
376	C₈	#450	1	4	yes	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	8	no	—
384	C₂²	—	4	32	no	—
385	C₂²	—	4	4	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	4	4	no	—
391	C₂²	#1675	1	4	yes	complemented
392	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#461	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3036	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂×#467	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3050	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	C₂×#472	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#3067	1	1	yes	characteristic
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	4	4	no	—
403	C₄	—	4	1	no	—
404	C₄	—	16	2	no	—
405	C₄	—	16	2	no	—
406	C₄	C₂×#450	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3007	1	1	yes	characteristic
408	C₄	C₂×#467	1	2	yes	—
409	C₄	#3050	1	2	yes	—
410	C₄	#3101	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#3110	1	1	yes	characteristic
412	C₂	—	2	4	no	—
413	C₂	—	4	8	no	—
414	C₂	C₂×#1675	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#19105	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#19256	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#19258	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#32905	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#32931	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#32942	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33209	C₂	semidirect
4. C₂×#1675	C₂	semidirect
5. #9215	C₂	semidirect
6. #9127	C₂	semidirect
7. #8644	C₂	semidirect
8. #8596	C₂	semidirect
11. C₂×#500	C₂²	semidirect
22. #1990	C₂²	semidirect
27. #1845	C₂²	semidirect
34. C₂×#335	C₂²	semidirect
35. C₂×#333	C₂²	semidirect
36. #1296	C₂²	semidirect
37. #1277	C₂²	semidirect
391. C₂²	#1675	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×D₄	2
#33209	2
#32956	2
C₂×#1675	2
#9215	2
#9127	2
#8644	2
#8596	2