Subgroups — #347654

Order 512.

1014 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#32957	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1676	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9216	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9127	C₂	1	2	yes	maximal
7	#8645	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#477	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₈×Q₈	—	2	8	no	—
13	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
14	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
15	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
18	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2857	C₂²	1	2	yes	—
22	#1990	C₂²	1	2	yes	—
23	#1942	—	2	1	no	—
24	#1942	—	2	1	no	—
25	#1863	—	2	4	no	—
26	#1852	—	2	2	no	—
27	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1808	—	2	1	no	—
29	#1808	—	2	1	no	—
30	#1803	C₂²	1	4	yes	—
31	#1797	C₂²	1	2	yes	—
32	#1787	—	2	2	no	—
33	#1676	—	2	8	no	—
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
36	#1296	C₂²	1	4	yes	—
37	#1277	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
40	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#500	—	2	4	no	—
55	#477	—	2	8	no	—
56	#477	—	2	8	no	—
57	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
58	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
59	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
60	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
61	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
62	C₈×Q₈	D₄	1	8	yes	—
63	C₂×#107	—	2	1	no	—
64	C₂×#107	—	2	1	no	—
65	C₂×#107	—	2	1	no	—
66	C₂×#107	—	2	1	no	—
67	C₂×#107	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#103	—	2	4	no	—
76	C₂×#103	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#391	—	2	2	no	—
87	#389	—	2	2	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#384	C₂³	1	2	yes	—
90	#380	—	2	2	no	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	2	no	—
93	#340	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	4	no	—
95	#336	—	2	2	no	—
96	#335	—	2	4	no	—
97	#333	—	2	8	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×Q₈	Q₁₆	1	4	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₈	Q₁₆	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
129	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	#107	—	4	2	no	—
161	#107	—	4	2	no	—
162	#107	—	4	2	no	—
163	#107	—	4	2	no	—
164	#107	—	4	8	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	#103	—	4	8	no	—
173	#103	—	4	8	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
175	C₄×C₈	—	2	8	no	—
176	C₄×C₈	—	2	8	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	#95	—	4	2	no	—
182	#95	—	4	2	no	—
183	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
195	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
196	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
197	C₂×Q₈	#135	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	8	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
261	C₄⋊C₄	#121	1	4	yes	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
263	C₄²	—	2	8	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	1	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	#462	1	2	yes	—
277	C₂³	#467	1	2	yes	—
278	C₂³	#472	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	2	16	no	—
281	Q₈	—	2	4	no	—
282	Q₈	—	2	4	no	—
283	Q₈	—	2	4	no	—
284	Q₈	—	16	4	no	—
285	Q₈	#467	1	8	yes	—
286	C₂×C₄	—	2	16	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	#462	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#467	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	4	1	no	—
332	C₈	—	4	4	no	—
333	C₈	—	8	4	no	—
334	C₈	#451	1	4	yes	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	#1676	1	4	yes	complemented
342	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×#462	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3037	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#467	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#3050	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#472	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3067	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	8	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	4	1	no	—
354	C₄	—	4	4	no	—
355	C₄	—	16	2	no	—
356	C₄	—	16	2	no	—
357	C₄	C₂×#451	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#3007	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#467	1	2	yes	—
360	C₄	#3050	1	2	yes	—
361	C₄	#3104	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#3113	1	1	yes	characteristic
363	C₂	—	2	4	no	—
364	C₂	C₂×#1676	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#19118	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#19262	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#19264	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#32906	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#32931	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#32942	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1676	C₂	semidirect
5. #9216	C₂	semidirect
7. #8645	C₂	semidirect
341. C₂²	#1676	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×Q₈	2
#33209	2
#32957	2
C₂×#1676	2
#9216	2
#9127	2
#8645	2
#8596	2