Subgroups — #34810

Order 256.

1369 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2502	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2500	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2499	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2498	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2412	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2395	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₄×#123	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2297	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#525	—	2	8	no	—
19	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#117	—	2	8	no	—
29	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
40	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	8	yes	—
44	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	8	yes	—
46	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#386	C₂²	1	8	yes	—
53	#386	C₂²	1	4	yes	—
54	#385	C₂²	1	4	yes	—
55	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#381	C₂²	1	4	yes	—
60	#380	C₂²	1	8	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
62	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
68	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
69	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	2	8	no	—
72	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#123	—	2	8	no	—
90	#123	—	2	16	no	—
91	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
92	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
93	#121	—	2	4	no	—
94	#121	—	2	4	no	—
95	#120	—	2	8	no	—
96	C₄×D₄	—	2	8	no	—
97	C₄×D₄	—	2	8	no	—
98	#117	—	2	8	no	—
99	#117	—	2	8	no	—
100	#117	—	2	8	no	—
101	#117	—	2	8	no	—
102	#117	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
137	#95	C₂³	1	4	yes	—
138	#95	C₂³	1	2	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	8	yes	—
141	#95	C₂³	1	8	yes	—
142	#95	C₂³	1	8	yes	—
143	#95	C₂³	1	8	yes	—
144	C₂⁴	—	2	4	no	—
145	C₂⁴	—	2	4	no	—
146	C₂⁴	—	4	2	no	—
147	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#41	—	4	16	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	8	no	—
159	C₂×D₄	—	2	8	no	—
160	C₂×D₄	—	2	2	no	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	complemented
218	C₄²	—	2	8	no	—
219	C₄²	—	2	8	no	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	2	8	no	—
223	C₄²	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	8	no	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	—	4	16	no	—
239	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
243	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
244	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	4	4	no	—
246	D₄	—	4	8	no	—
247	D₄	—	4	8	no	—
248	D₄	—	4	8	no	—
249	D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	16	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	#123	1	16	yes	complemented
277	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
284	C₂²	—	2	2	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	—	2	2	no	—
288	C₂²	—	2	8	no	—
289	C₂²	—	2	8	no	—
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	4	16	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	2	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	8	no	—
299	C₂²	C₂×#123	1	4	yes	—
300	C₂²	#532	1	4	yes	—
301	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
303	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
304	C₂²	#585	1	2	yes	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	2	2	no	—
307	C₄	—	2	8	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	4	4	no	—
310	C₄	—	4	2	no	—
311	C₄	—	4	4	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	—	4	4	no	—
314	C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
315	C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
316	C₂	—	2	4	no	—
317	C₂	—	2	4	no	—
318	C₂	—	4	2	no	—
319	C₂	—	8	2	no	—
320	C₂	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
321	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#3475	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
3. #2504	C₂	semidirect
4. #2503	C₂	semidirect
5. #2502	C₂	semidirect
6. #2501	C₂	semidirect
7. #2500	C₂	semidirect
8. #2499	C₂	semidirect
9. #2498	C₂	semidirect
10. #2412	C₂	semidirect
11. #2395	C₂	semidirect
12. C₄×#123	C₂	semidirect
13. #2297	C₂	semidirect
14. #2285	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
40. #400	C₂²	semidirect
41. #399	C₂²	semidirect
42. #398	C₂²	semidirect
44. #397	C₂²	semidirect
46. #391	C₂²	semidirect
47. #391	C₂²	semidirect
48. #390	C₂²	semidirect
49. #390	C₂²	semidirect
50. #388	C₂²	semidirect
51. #387	C₂²	semidirect
55. #384	C₂²	semidirect
56. #384	C₂²	semidirect
57. #382	C₂²	semidirect
58. #382	C₂²	semidirect
61. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
67. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
217. C₂²⋊C₄	#41	semidirect
276. C₂×C₄	#123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
C₂²×#117	2
#2504	2
#2503	2
#2502	2
#2501	2
#2500	2
#2499	2
#2498	2
#2412	2
#2395	2
C₄×#123	2
#2297	2
#2285	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2