Subgroups — #34813

Order 256.

1323 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2490	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2489	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2488	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2472	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2398	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#124	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#533	—	2	8	no	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
22	#525	—	2	8	no	—
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#397	C₂²	1	4	yes	—
39	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#394	C₂²	1	4	yes	—
41	#394	C₂²	1	4	yes	—
42	#393	C₂²	1	4	yes	—
43	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#390	C₂²	1	4	yes	—
49	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
52	#388	C₂²	1	4	yes	—
53	#388	C₂²	1	4	yes	—
54	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	—
58	#382	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#381	C₂²	1	2	yes	—
60	#380	C₂²	1	2	yes	—
61	#380	C₂²	1	2	yes	—
62	#379	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
68	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#41	—	2	4	no	—
79	C₂×#41	—	2	4	no	—
80	C₂×#41	—	2	4	no	—
81	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
97	#125	—	2	8	no	—
98	#124	—	2	16	no	—
99	#123	—	2	8	no	—
100	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
102	#121	—	2	8	no	—
103	#120	—	2	8	no	—
104	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
105	C₄×D₄	—	2	16	no	—
106	#117	—	2	4	no	—
107	#117	—	2	4	no	—
108	#117	D₄	1	8	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
146	#95	C₂³	1	2	yes	—
147	#95	C₂³	1	2	yes	—
148	#95	C₂³	1	2	yes	—
149	#95	C₂³	1	2	yes	—
150	#95	C₂³	1	4	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	C₂⁴	—	2	4	no	—
159	C₂⁴	—	2	2	no	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	2	no	—
162	C₂⁴	—	4	2	no	—
163	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	#41	—	4	16	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	2	2	no	—
179	C₂×D₄	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
238	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	complemented
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	8	no	—
248	C₄²	—	4	4	no	—
249	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	4	8	no	—
265	C₂³	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
270	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
273	Q₈	—	4	16	no	—
274	Q₈	—	4	4	no	—
275	D₄	—	4	16	no	—
276	D₄	—	4	8	no	—
277	D₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	#124	1	16	yes	complemented
310	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	4	16	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	C₂×#124	1	4	yes	—
337	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
341	C₂²	#585	1	2	yes	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	8	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	4	2	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
353	C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
354	C₂	—	2	4	no	—
355	C₂	—	4	4	no	—
356	C₂	—	8	2	no	—
357	C₂	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#3444	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#3455	1	1	yes	characteristic
360	C₂	D₄×#41	1	2	yes	—
361	C₂	#3475	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#533	C₂	semidirect
3. #2492	C₂	semidirect
4. #2491	C₂	semidirect
5. #2490	C₂	semidirect
6. #2489	C₂	semidirect
7. #2488	C₂	semidirect
8. #2472	C₂	semidirect
9. #2398	C₂	semidirect
10. C₄×#124	C₂	semidirect
11. #2297	C₂	semidirect
12. #2297	C₂	semidirect
13. #2280	C₂	semidirect
14. C₄×#117	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
19. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
20. C₂×#125	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
36. #400	C₂²	semidirect
37. #400	C₂²	semidirect
39. #397	C₂²	semidirect
43. #393	C₂²	semidirect
44. #391	C₂²	semidirect
45. #391	C₂²	semidirect
46. #391	C₂²	semidirect
47. #391	C₂²	semidirect
49. #390	C₂²	semidirect
50. #390	C₂²	semidirect
51. #390	C₂²	semidirect
54. #388	C₂²	semidirect
55. #388	C₂²	semidirect
58. #382	C₂²	semidirect
63. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
71. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
72. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
73. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
74. #376	C₂²	semidirect
76. C₄³	C₂²	semidirect
238. C₂²⋊C₄	#41	semidirect
309. C₂×C₄	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
C₂×#525	2
#2492	2
#2491	2
#2490	2
#2489	2
#2488	2
#2472	2
#2398	2
C₄×#124	2
#2297	2
#2280	2
C₄×#117	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2