Subgroups — #34814

Order 256.

997 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#2497	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2496	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2495	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2494	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2493	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2480	C₂	1	4	yes	maximal
7	#2401	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#126	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#401	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#397	C₂²	1	4	yes	—
30	#397	C₂²	1	4	yes	—
31	#397	C₂²	1	4	yes	—
32	#396	C₂²	1	4	yes	—
33	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#388	C₂²	1	4	yes	—
38	#388	C₂²	1	4	yes	—
39	#388	C₂²	1	4	yes	—
40	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#385	C₂²	1	4	yes	—
44	#385	C₂²	1	4	yes	—
45	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#383	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	#381	C₂²	1	2	yes	—
51	#381	C₂²	1	2	yes	—
52	#380	C₂²	1	4	yes	—
53	#380	C₂²	1	2	yes	—
54	#380	C₂²	1	2	yes	—
55	#380	C₂²	1	2	yes	—
56	#380	C₂²	1	2	yes	—
57	#379	C₂²	1	2	yes	—
58	#379	C₂²	1	2	yes	—
59	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
68	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
72	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#126	—	2	16	no	—
86	#117	—	2	4	no	—
87	#117	—	2	4	no	—
88	#117	—	2	4	no	—
89	#117	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
129	#95	C₂³	1	2	yes	—
130	#95	C₂³	1	2	yes	—
131	#95	C₂³	1	2	yes	—
132	#95	C₂³	1	2	yes	—
133	#95	C₂³	1	4	yes	—
134	#95	C₂³	1	4	yes	—
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	#95	C₂³	1	4	yes	—
137	#95	C₂³	1	4	yes	—
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	4	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂⁴	—	2	4	no	—
146	C₂⁴	—	2	2	no	—
147	C₂⁴	—	2	2	no	—
148	C₂⁴	—	2	2	no	—
149	C₂⁴	—	4	2	no	—
150	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
168	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	—
208	C₄²	—	2	2	no	—
209	C₄²	—	2	2	no	—
210	C₄²	—	2	4	no	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	—	2	4	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	—	2	8	no	—
219	C₄²	—	4	4	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	8	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	4	8	no	—
230	C₂³	—	4	8	no	—
231	C₂³	—	4	4	no	—
232	C₂³	—	4	4	no	—
233	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
234	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂×C₄	#126	1	16	yes	complemented
271	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂²	—	2	2	no	—
280	C₂²	—	2	2	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	2	4	no	—
283	C₂²	—	2	4	no	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	4	16	no	—
287	C₂²	—	4	2	no	—
288	C₂²	—	4	2	no	—
289	C₂²	—	4	2	no	—
290	C₂²	—	4	2	no	—
291	C₂²	C₂×#126	1	4	yes	—
292	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
296	C₂²	#585	1	2	yes	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	2	4	no	—
299	C₄	—	4	2	no	—
300	C₄	—	4	2	no	—
301	C₄	—	4	2	no	—
302	C₄	—	4	2	no	—
303	C₄	—	4	2	no	—
304	C₄	—	4	4	no	—
305	C₄	—	4	4	no	—
306	C₄	—	4	2	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
309	C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
310	C₂	—	2	4	no	—
311	C₂	—	4	4	no	—
312	C₂	C₂²×#126	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#3444	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#3455	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#3475	1	2	yes	—
316	C₂	#3475	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #2497	C₂	semidirect
2. #2496	C₂	semidirect
3. #2495	C₂	semidirect
4. #2494	C₂	semidirect
5. #2493	C₂	semidirect
7. #2401	C₂	semidirect
8. C₄×#126	C₂	semidirect
9. #2296	C₂	semidirect
10. #2296	C₂	semidirect
11. #2285	C₂	semidirect
14. C₄×#117	C₂	semidirect
25. #401	C₂²	semidirect
26. #400	C₂²	semidirect
27. #400	C₂²	semidirect
28. #400	C₂²	semidirect
33. #389	C₂²	semidirect
34. #389	C₂²	semidirect
35. #389	C₂²	semidirect
36. #389	C₂²	semidirect
40. #387	C₂²	semidirect
41. #387	C₂²	semidirect
42. #387	C₂²	semidirect
45. #384	C₂²	semidirect
46. #384	C₂²	semidirect
47. #383	C₂²	semidirect
48. #382	C₂²	semidirect
49. #382	C₂²	semidirect
59. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
60. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
61. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
62. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
63. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
72. #376	C₂²	semidirect
74. C₄³	C₂²	semidirect
270. C₂×C₄	#126	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#2497	2
#2496	2
#2495	2
#2494	2
#2493	2
#2480	2
#2401	2
C₄×#126	2
#2296	2
#2285	2
#2280	2
C₄×#117	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2