Subgroups — #34875

Order 256.

1401 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2609	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2598	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2579	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2484	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2482	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2406	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2404	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#2396	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2392	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#123	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₄×#120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#2290	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
17	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×#41	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×#117	—	2	8	no	—
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#399	C₂²	1	2	yes	—
46	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#397	C₂²	1	2	yes	—
49	#396	C₂²	1	4	yes	—
50	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#394	C₂²	1	4	yes	—
53	#394	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#393	C₂²	1	2	yes	—
55	#392	C₂²	1	2	yes	—
56	#388	C₂²	1	4	yes	—
57	#388	C₂²	1	4	yes	—
58	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	2	yes	—
63	#386	C₂²	1	2	yes	—
64	#386	C₂²	1	4	yes	—
65	#386	C₂²	1	4	yes	—
66	#386	C₂²	1	4	yes	—
67	#385	C₂²	1	2	yes	—
68	#385	C₂²	1	2	yes	—
69	#385	C₂²	1	4	yes	—
70	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	#381	C₂²	1	2	yes	—
77	#380	C₂²	1	2	yes	—
78	#379	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
84	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
85	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#41	—	2	8	no	—
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#123	—	2	8	no	—
106	#120	—	2	8	no	—
107	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	2	8	no	—
110	C₄×D₄	—	2	8	no	—
111	C₄×D₄	—	2	16	no	—
112	C₄×D₄	—	2	4	no	—
113	C₄×D₄	—	2	4	no	—
114	#117	—	2	4	no	—
115	#117	—	2	8	no	—
116	#117	—	2	8	no	—
117	#117	—	2	8	no	—
118	#117	—	2	8	no	—
119	#117	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	2	yes	—
173	#95	C₂³	1	2	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	#95	C₂³	1	4	yes	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	4	2	no	—
180	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	#41	—	2	32	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	complemented
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	8	no	—
267	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
268	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
269	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	4	16	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
289	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	2	8	no	—
291	D₄	—	2	8	no	—
292	D₄	—	2	16	no	—
293	D₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	16	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	8	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	4	16	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	#525	1	4	yes	—
352	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
355	C₂²	#585	1	2	yes	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	#525	1	4	yes	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	4	4	no	—
372	C₂	—	4	4	no	—
373	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#3475	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2404	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
3. #2609	C₂	semidirect
4. #2599	C₂	semidirect
5. #2598	C₂	semidirect
6. #2579	C₂	semidirect
7. #2534	C₂	semidirect
8. #2484	C₂	semidirect
9. #2482	C₂	semidirect
10. #2406	C₂	semidirect
12. #2396	C₂	semidirect
13. #2392	C₂	semidirect
14. C₄×#123	C₂	semidirect
15. C₄×#120	C₂	semidirect
16. #2290	C₂	semidirect
17. #2283	C₂	semidirect
23. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
36. C₂×#117	C₂²	semidirect
43. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
44. #400	C₂²	semidirect
46. #398	C₂²	semidirect
47. #398	C₂²	semidirect
50. #396	C₂²	semidirect
51. #395	C₂²	semidirect
53. #394	C₂²	semidirect
58. #388	C₂²	semidirect
59. #387	C₂²	semidirect
60. #387	C₂²	semidirect
61. #387	C₂²	semidirect
70. #385	C₂²	semidirect
71. #385	C₂²	semidirect
72. #383	C₂²	semidirect
73. #382	C₂²	semidirect
79. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
80. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
83. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
84. #376	C₂²	semidirect
153. C₂×C₄²	D₄	semidirect
219. C₂²×C₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#41	2
C₂²×#117	2
#2609	2
#2599	2
#2598	2
#2579	2
#2534	2
#2484	2
#2482	2
#2406	2
#2404	2
#2396	2
#2392	2
C₄×#123	2
C₄×#120	2
#2290	2
#2283	2