Subgroups — #34937

Order 256.

1657 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#532	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2543	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2416	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2392	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₄×#121	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#2297	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#532	—	2	16	no	—
19	#532	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#41	—	2	8	no	—
32	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#398	C₂²	1	4	yes	—
48	#397	C₂²	1	4	yes	—
49	#396	C₂²	1	8	yes	—
50	#394	C₂²	1	8	yes	—
51	#394	C₂²	1	4	yes	—
52	#392	C₂²	1	4	yes	—
53	#391	C₂²	1	2	yes	—
54	#391	C₂²	1	2	yes	—
55	#390	C₂²	1	4	yes	—
56	#390	C₂²	1	2	yes	—
57	#390	C₂²	1	2	yes	—
58	#389	C₂²	1	4	yes	—
59	#388	C₂²	1	8	yes	—
60	#386	C₂²	1	8	yes	—
61	#386	C₂²	1	8	yes	—
62	#380	C₂²	1	4	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
68	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
69	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	2	8	no	—
72	C₂×#41	—	2	8	no	—
73	C₂×#41	—	2	4	no	—
74	C₂×#41	—	2	8	no	—
75	C₂×#41	D₄	1	8	yes	complemented
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
94	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
95	#127	—	2	8	no	—
96	#127	—	2	4	no	—
97	#124	—	2	8	no	—
98	#124	—	2	8	no	—
99	#124	—	2	8	no	—
100	#121	—	2	32	no	—
101	#121	—	2	8	no	—
102	#121	—	2	8	no	—
103	#121	—	2	16	no	—
104	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₄×D₄	—	2	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	8	no	—
108	C₄×D₄	—	2	32	no	—
109	C₄×D₄	—	2	4	no	—
110	C₄×D₄	—	2	4	no	—
111	C₄×D₄	—	2	8	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	#117	—	2	4	no	—
114	#117	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
135	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	#95	C₂³	1	4	yes	—
149	#95	C₂³	1	2	yes	—
150	#95	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	8	yes	—
152	#95	C₂³	1	8	yes	—
153	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#41	—	2	32	no	—
157	#41	—	4	32	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
160	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	2	16	no	—
167	C₂×D₄	—	2	8	no	—
168	C₂×D₄	—	2	8	no	—
169	C₂×D₄	—	2	8	no	—
170	C₂×D₄	—	2	2	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	16	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	8	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	complemented
225	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
241	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
242	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
260	Q₈	—	2	8	no	—
261	Q₈	—	4	8	no	—
262	D₄	—	2	16	no	—
263	D₄	—	2	8	no	—
264	D₄	—	4	32	no	—
265	D₄	—	4	8	no	—
266	D₄	—	4	16	no	—
267	D₄	—	4	8	no	—
268	D₄	—	4	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	16	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	16	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	16	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	#121	1	16	yes	complemented
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	8	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	4	8	no	—
321	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
322	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
326	C₂²	#585	1	2	yes	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	8	no	—
332	C₄	—	4	4	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
337	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
338	C₄	#532	1	4	yes	complemented
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	4	4	no	—
341	C₂	—	8	4	no	—
342	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
345	C₂	D₄×#41	1	2	yes	—
346	C₂	#3480	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#532	C₂	semidirect
2. C₂×#532	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
4. #2548	C₂	semidirect
5. #2547	C₂	semidirect
6. #2546	C₂	semidirect
7. #2545	C₂	semidirect
8. #2544	C₂	semidirect
9. #2543	C₂	semidirect
10. #2541	C₂	semidirect
11. #2416	C₂	semidirect
12. #2392	C₂	semidirect
13. C₄×#121	C₂	semidirect
14. #2297	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
75. C₂×#41	D₄	semidirect
137. C₂×C₄²	D₄	semidirect
224. C₄⋊C₄	#41	semidirect
293. C₂×C₄	#121	semidirect
338. C₄	#532	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
C₂×C₄×#41	2
#2548	2
#2547	2
#2546	2
#2545	2
#2544	2
#2543	2
#2541	2
#2416	2
#2392	2
C₄×#121	2
#2297	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2