Subgroups — #34947

Order 256.

1261 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2566	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2565	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2564	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2563	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2417	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2396	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2297	C₂	1	2	yes	maximal
14	#2285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#533	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
24	C₄×#41	—	2	8	no	—
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#400	C₂²	1	4	yes	—
41	#399	C₂²	1	4	yes	—
42	#398	C₂²	1	8	yes	—
43	#396	C₂²	1	8	yes	—
44	#395	C₂²	1	4	yes	—
45	#393	C₂²	1	4	yes	—
46	#391	C₂²	1	2	yes	—
47	#391	C₂²	1	2	yes	—
48	#391	C₂²	1	4	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#389	C₂²	1	4	yes	—
52	#387	C₂²	1	8	yes	—
53	#386	C₂²	1	8	yes	—
54	#385	C₂²	1	8	yes	—
55	#384	C₂²	1	2	yes	—
56	#384	C₂²	1	2	yes	—
57	#382	C₂²	1	2	yes	—
58	#382	C₂²	1	2	yes	—
59	#380	C₂²	1	4	yes	—
60	#380	C₂²	1	8	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
68	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
69	C₂×#41	—	2	4	no	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	Q₈	1	8	yes	complemented
72	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
85	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
86	#125	—	2	8	no	—
87	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
88	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
90	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
91	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
92	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
93	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
94	C₄×D₄	—	2	8	no	—
95	C₄×D₄	—	2	8	no	—
96	C₄×D₄	—	2	4	no	—
97	C₄×D₄	—	2	4	no	—
98	#117	—	2	4	no	—
99	#117	—	2	8	no	—
100	#117	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
123	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	#95	C₂³	1	4	yes	—
138	#95	C₂³	1	2	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	8	yes	—
141	#95	C₂³	1	8	yes	—
142	#95	C₂³	1	8	yes	—
143	#95	C₂³	1	8	yes	—
144	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	#41	—	2	32	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
153	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
154	C₂×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	2	no	—
158	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
159	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	complemented
205	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	2	4	no	—
214	C₄²	—	2	8	no	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	—	2	8	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
231	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
233	Q₈	—	2	8	no	—
234	Q₈	—	4	8	no	—
235	Q₈	—	4	8	no	—
236	D₄	—	2	16	no	—
237	D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	16	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	complemented
263	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	4	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	8	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	—	4	4	no	—
285	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
286	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
290	C₂²	#585	1	2	yes	—
291	C₄	—	2	4	no	—
292	C₄	—	2	2	no	—
293	C₄	—	2	2	no	—
294	C₄	—	2	2	no	—
295	C₄	—	2	8	no	—
296	C₄	—	4	2	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	—	4	2	no	—
299	C₄	—	4	4	no	—
300	C₄	—	4	4	no	—
301	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
302	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
303	C₄	#532	1	4	yes	—
304	C₂	—	2	4	no	—
305	C₂	—	4	4	no	—
306	C₂	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#3475	1	2	yes	—
310	C₂	Q₈×#41	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#533	C₂	semidirect
3. #2568	C₂	semidirect
4. #2567	C₂	semidirect
5. #2566	C₂	semidirect
6. #2565	C₂	semidirect
7. #2564	C₂	semidirect
8. #2563	C₂	semidirect
9. #2542	C₂	semidirect
10. #2417	C₂	semidirect
11. #2396	C₂	semidirect
12. C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
14. #2285	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
71. C₂×#41	Q₈	semidirect
204. C₄⋊C₄	#41	semidirect
262. C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
C₂×C₄×#41	2
#2568	2
#2567	2
#2566	2
#2565	2
#2564	2
#2563	2
#2542	2
#2417	2
#2396	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
#2297	2
#2285	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2