Subgroups — #34965

Order 256.

1557 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2603	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2566	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2502	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#2411	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2392	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₄×#127	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×#124	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#120	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	#529	—	2	8	no	—
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
37	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	4	yes	—
46	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#392	C₂²	1	4	yes	—
48	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#385	C₂²	1	4	yes	—
57	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#379	C₂²	1	4	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
67	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
68	C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
79	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	#127	—	2	8	no	—
88	#126	—	2	8	no	—
89	#125	—	2	4	no	—
90	#124	—	2	8	no	—
91	#124	—	2	4	no	—
92	#123	—	2	8	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
94	#121	—	2	4	no	—
95	#120	—	2	16	no	—
96	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
97	C₄×D₄	—	2	8	no	—
98	C₄×D₄	—	2	8	no	—
99	C₄×D₄	—	2	8	no	—
100	C₄×D₄	—	2	8	no	—
101	C₄×D₄	—	2	8	no	—
102	C₄×D₄	—	2	4	no	—
103	C₄×D₄	—	4	16	no	—
104	#117	—	2	8	no	—
105	#117	—	2	8	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
132	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	2	yes	—
143	#95	C₂³	1	2	yes	—
144	#95	C₂³	1	8	yes	—
145	#95	C₂³	1	8	yes	—
146	C₂⁴	—	2	4	no	—
147	C₂⁴	—	2	8	no	—
148	C₂⁴	—	2	8	no	—
149	C₂⁴	—	4	4	no	—
150	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	32	no	—
156	C₂×D₄	—	2	8	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	8	no	—
159	C₂×D₄	—	2	16	no	—
160	C₂×D₄	—	2	4	no	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	2	16	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	4	8	no	—
167	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	—
218	C₄²	—	2	4	no	—
219	C₄²	—	2	8	no	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	2	8	no	—
223	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
225	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	16	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	8	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	8	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	4	32	no	—
239	C₂³	—	4	8	no	—
240	C₂³	—	4	8	no	—
241	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂³	C₂×#41	1	8	yes	—
243	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
244	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	4	4	no	—
246	D₄	—	2	16	no	—
247	D₄	—	2	16	no	—
248	D₄	—	4	32	no	—
249	D₄	—	4	8	no	—
250	D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	16	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	16	no	—
275	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
284	C₂²	—	2	2	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	8	no	—
287	C₂²	—	2	8	no	—
288	C₂²	—	2	16	no	—
289	C₂²	—	4	32	no	—
290	C₂²	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	4	8	no	—
293	C₂²	—	4	2	no	—
294	C₂²	—	4	2	no	—
295	C₂²	—	4	2	no	—
296	C₂²	—	4	8	no	—
297	C₂²	#532	1	4	yes	—
298	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	2	8	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	4	4	no	—
311	C₄	—	4	4	no	—
312	C₄	#525	1	4	yes	—
313	C₄	#535	1	4	yes	—
314	C₂	—	2	4	no	—
315	C₂	—	4	8	no	—
316	C₂	—	8	2	no	—
317	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
319	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#3481	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2433	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#529	C₂	semidirect
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. #2603	C₂	semidirect
4. #2566	C₂	semidirect
5. #2544	C₂	semidirect
6. #2504	C₂	semidirect
7. #2502	C₂	semidirect
8. #2435	C₂	semidirect
10. #2411	C₂	semidirect
11. #2392	C₂	semidirect
12. C₄×#127	C₂	semidirect
13. C₄×#124	C₂	semidirect
14. C₄×#120	C₂	semidirect
15. C₄×#117	C₂	semidirect
20. C₂×#126	C₂²	semidirect
21. C₂×#125	C₂²	semidirect
23. C₂×#124	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
38. C₂×#117	C₂²	semidirect
42. #398	C₂²	semidirect
43. #397	C₂²	semidirect
44. #396	C₂²	semidirect
46. #394	C₂²	semidirect
48. #391	C₂²	semidirect
51. #390	C₂²	semidirect
52. #390	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
55. #386	C₂²	semidirect
57. #385	C₂²	semidirect
58. #384	C₂²	semidirect
59. #382	C₂²	semidirect
61. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
62. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
66. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
67. #376	C₂²	semidirect
68. C₄³	C₂²	semidirect
131. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2603	2
#2566	2
#2544	2
#2504	2
#2502	2
#2435	2
#2433	2
#2411	2
#2392	2
C₄×#127	2
C₄×#124	2
C₄×#120	2
C₄×#117	2