Subgroups — #34972

Order 256.

1237 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 297 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2604	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2565	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#2436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#2434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2413	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2396	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×#124	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#123	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	#529	—	2	8	no	—
19	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#400	C₂²	1	4	yes	—
42	#399	C₂²	1	4	yes	—
43	#398	C₂²	1	8	yes	—
44	#396	C₂²	1	8	yes	—
45	#395	C₂²	1	4	yes	—
46	#393	C₂²	1	4	yes	—
47	#391	C₂²	1	2	yes	—
48	#391	C₂²	1	2	yes	—
49	#391	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#389	C₂²	1	8	yes	—
52	#388	C₂²	1	8	yes	—
53	#388	C₂²	1	8	yes	—
54	#387	C₂²	1	8	yes	—
55	#386	C₂²	1	4	yes	—
56	#385	C₂²	1	4	yes	—
57	#384	C₂²	1	2	yes	—
58	#382	C₂²	1	2	yes	—
59	#381	C₂²	1	4	yes	—
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
67	#376	C₂²	1	2	yes	—
68	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
69	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
70	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
71	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
83	#126	—	2	8	no	—
84	#125	—	2	4	no	—
85	#124	—	2	8	no	—
86	#124	—	2	4	no	—
87	#123	—	2	8	no	—
88	#123	—	2	16	no	—
89	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
90	#121	—	2	4	no	—
91	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
92	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
93	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
94	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
95	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
96	C₄×D₄	—	2	8	no	—
97	C₄×D₄	—	2	4	no	—
98	#117	—	2	8	no	—
99	#117	—	2	8	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	#95	C₂³	1	4	yes	—
138	#95	C₂³	1	2	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	8	yes	—
141	#95	C₂³	1	8	yes	—
142	#95	C₂³	1	8	yes	—
143	#95	C₂³	1	8	yes	—
144	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂×Q₈	#41	1	8	yes	—
154	C₂×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	8	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
204	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	—
205	C₄²	—	2	8	no	—
206	C₄²	—	2	8	no	—
207	C₄²	—	2	4	no	—
208	C₄²	—	2	8	no	—
209	C₄²	—	2	4	no	—
210	C₄²	—	2	4	no	—
211	C₄²	—	2	8	no	—
212	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
224	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
225	Q₈	—	2	16	no	—
226	Q₈	—	2	16	no	—
227	Q₈	—	4	4	no	—
228	D₄	—	4	8	no	—
229	D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	2	8	no	—
268	C₂²	—	4	2	no	—
269	C₂²	—	4	2	no	—
270	C₂²	—	4	2	no	—
271	C₂²	—	4	8	no	—
272	C₂²	#532	1	4	yes	—
273	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
275	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
276	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
277	C₄	—	2	2	no	—
278	C₄	—	2	8	no	—
279	C₄	—	2	2	no	—
280	C₄	—	2	2	no	—
281	C₄	—	2	2	no	—
282	C₄	—	2	8	no	—
283	C₄	—	4	2	no	—
284	C₄	—	4	4	no	—
285	C₄	—	4	2	no	—
286	C₄	—	4	2	no	—
287	C₄	—	4	4	no	—
288	C₄	#525	1	4	yes	—
289	C₄	#536	1	4	yes	—
290	C₂	—	2	4	no	—
291	C₂	—	8	2	no	—
292	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
293	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
294	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
295	C₂	#3482	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×Q₈	C₂	semidirect
3. #2604	C₂	semidirect
4. #2565	C₂	semidirect
5. #2545	C₂	semidirect
6. #2503	C₂	semidirect
9. #2434	C₂	semidirect
10. #2413	C₂	semidirect
11. #2396	C₂	semidirect
12. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
13. C₄×#124	C₂	semidirect
14. C₄×#123	C₂	semidirect
15. C₄×#117	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
C₂²×C₄×Q₈	2
#2604	2
#2565	2
#2545	2
#2503	2
#2501	2
#2436	2
#2434	2
#2413	2
#2396	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
C₄×#124	2
C₄×#123	2
C₄×#117	2