Subgroups — #34980

Order 256.

3893 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 341 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2846	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2613	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2410	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#2405	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2403	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
15	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
16	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#534	—	2	16	no	—
24	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#120	—	2	8	no	—
28	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#394	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#392	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
50	C₂⁵	—	2	8	no	—
51	C₂⁵	—	2	4	no	—
52	C₂⁵	—	2	8	no	—
53	C₂⁵	—	4	8	no	—
54	C₂⁵	—	4	8	no	—
55	C₂⁵	D₄	1	8	yes	complemented
56	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
64	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
65	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
67	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
68	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
69	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
70	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
77	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
78	C₂²×D₄	D₄	1	16	yes	complemented
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	complemented
85	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	complemented
86	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	complemented
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
92	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
93	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	complemented
94	#123	—	2	16	no	—
95	#123	—	2	16	no	—
96	#121	—	2	32	no	—
97	#120	—	2	8	no	—
98	#120	—	2	16	no	—
99	#120	—	2	8	no	—
100	#120	—	2	16	no	—
101	#120	—	2	16	no	—
102	#120	—	4	16	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	complemented
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
119	#95	C₂³	1	16	yes	complemented
120	C₂⁴	—	2	4	no	—
121	C₂⁴	—	2	8	no	—
122	C₂⁴	—	2	32	no	—
123	C₂⁴	—	2	32	no	—
124	C₂⁴	—	2	16	no	—
125	C₂⁴	—	2	8	no	—
126	C₂⁴	—	2	8	no	—
127	C₂⁴	—	2	8	no	—
128	C₂⁴	—	2	4	no	—
129	C₂⁴	—	2	4	no	—
130	C₂⁴	—	2	4	no	—
131	C₂⁴	—	2	8	no	—
132	C₂⁴	—	2	8	no	—
133	C₂⁴	—	2	2	no	—
134	C₂⁴	—	2	16	no	—
135	C₂⁴	—	2	4	no	—
136	C₂⁴	—	4	32	no	—
137	C₂⁴	—	4	4	no	—
138	C₂⁴	—	4	4	no	—
139	C₂⁴	—	4	4	no	—
140	C₂⁴	—	4	4	no	—
141	C₂⁴	—	4	8	no	—
142	C₂⁴	—	4	8	no	—
143	C₂⁴	—	4	4	no	—
144	C₂⁴	—	4	64	no	—
145	C₂⁴	—	4	64	no	—
146	C₂⁴	—	4	32	no	—
147	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
149	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
150	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
154	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂×D₄	—	2	128	no	—
162	C₂×D₄	—	2	128	no	—
163	C₂×D₄	—	2	64	no	—
164	C₂×D₄	—	2	64	no	—
165	C₂×D₄	—	2	16	no	—
166	C₂×D₄	—	2	16	no	—
167	C₂×D₄	—	2	8	no	—
168	C₂×D₄	—	2	8	no	—
169	C₂×D₄	—	2	8	no	—
170	C₂×D₄	—	2	8	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	8	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	8	no	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	2	16	no	—
178	C₂×D₄	—	2	16	no	—
179	C₂×D₄	—	2	16	no	—
180	C₂×D₄	—	4	8	no	—
181	C₂×D₄	—	4	16	no	—
182	C₂×D₄	—	4	32	no	—
183	C₂×D₄	—	4	16	no	—
184	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
185	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
186	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
214	C₂³	—	2	32	no	—
215	C₂³	—	2	8	no	—
216	C₂³	—	2	16	no	—
217	C₂³	—	2	4	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	32	no	—
223	C₂³	—	2	16	no	—
224	C₂³	—	2	16	no	—
225	C₂³	—	2	8	no	—
226	C₂³	—	2	16	no	—
227	C₂³	—	2	16	no	—
228	C₂³	—	2	16	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	16	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	8	no	—
238	C₂³	—	4	8	no	—
239	C₂³	—	4	8	no	—
240	C₂³	—	4	8	no	—
241	C₂³	—	4	8	no	—
242	C₂³	—	4	16	no	—
243	C₂³	—	4	16	no	—
244	C₂³	—	4	32	no	—
245	C₂³	—	4	32	no	—
246	C₂³	—	4	64	no	—
247	C₂³	—	4	128	no	—
248	C₂³	—	4	128	no	—
249	C₂³	—	4	16	no	—
250	C₂³	—	4	16	no	—
251	C₂³	—	4	16	no	—
252	C₂³	—	4	16	no	—
253	C₂³	—	4	8	no	—
254	C₂³	—	4	16	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	8	8	no	—
257	C₂³	#120	1	16	yes	complemented
258	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
260	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
262	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
268	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
269	D₄	—	2	64	no	—
270	D₄	—	2	32	no	—
271	D₄	—	2	32	no	—
272	D₄	—	4	16	no	—
273	D₄	—	4	8	no	—
274	D₄	—	4	8	no	—
275	D₄	—	4	16	no	—
276	D₄	—	8	16	no	—
277	C₂×C₄	—	2	32	no	—
278	C₂×C₄	—	2	16	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	8	8	no	—
290	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
291	C₂²	—	2	32	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	4	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	4	no	—
297	C₂²	—	2	8	no	—
298	C₂²	—	2	8	no	—
299	C₂²	—	2	16	no	—
300	C₂²	—	2	8	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	8	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	16	no	—
306	C₂²	—	4	16	no	—
307	C₂²	—	4	32	no	—
308	C₂²	—	4	32	no	—
309	C₂²	—	4	16	no	—
310	C₂²	—	4	32	no	—
311	C₂²	—	4	64	no	—
312	C₂²	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	4	8	no	—
314	C₂²	—	4	8	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	8	no	—
318	C₂²	—	8	8	no	—
319	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
320	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
321	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
322	C₂²	#534	1	8	yes	complemented
323	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
326	C₄	—	2	8	no	—
327	C₄	—	4	2	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	4	8	no	—
330	C₂	—	2	4	no	—
331	C₂	—	2	8	no	—
332	C₂	—	2	4	no	—
333	C₂	—	2	4	no	—
334	C₂	—	4	4	no	—
335	C₂	—	4	8	no	—
336	C₂	—	8	2	no	—
337	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₂×#534	1	2	yes	—
339	C₂	#3484	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂⁴×D₄	C₂	semidirect
2. C₂×#534	C₂	semidirect
3. C₂²×#120	C₂	semidirect
4. #2849	C₂	semidirect
5. #2846	C₂	semidirect
6. #2613	C₂	semidirect
7. #2410	C₂	semidirect
8. #2405	C₂	semidirect
9. #2403	C₂	semidirect
10. #2308	C₂	semidirect
11. C₂×#379	C₂	semidirect
13. C₂⁶	C₂²	semidirect
18. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
19. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
20. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
21. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
22. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
24. C₂×#123	C₂²	semidirect
25. C₂×#123	C₂²	semidirect
26. C₂×#121	C₂²	semidirect
29. C₂×#120	C₂²	semidirect
30. C₂×#120	C₂²	semidirect
31. C₂×#120	C₂²	semidirect
32. C₂×#120	C₂²	semidirect
33. C₂×#120	C₂²	semidirect
34. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
35. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
36. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
37. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
38. #394	C₂²	semidirect
39. #392	C₂²	semidirect
40. #386	C₂²	semidirect
41. #386	C₂²	semidirect
42. #386	C₂²	semidirect
43. #385	C₂²	semidirect
44. #381	C₂²	semidirect
45. #379	C₂²	semidirect
46. #379	C₂²	semidirect
47. #379	C₂²	semidirect
48. #379	C₂²	semidirect
49. #379	C₂²	semidirect
55. C₂⁵	D₄	semidirect
63. C₂⁵	C₂³	semidirect
78. C₂²×D₄	D₄	semidirect
84. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
85. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
86. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
91. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
92. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
93. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
103. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
112. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
113. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
114. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
115. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
116. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
117. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
118. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
119. #95	C₂³	semidirect
153. C₂⁴	C₂×D₄	semidirect
185. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
197. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
257. C₂³	#120	semidirect
322. C₂²	#534	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×D₄	2
C₂×#534	2
C₂²×#120	2
#2849	2
#2846	2
#2613	2
#2410	2
#2405	2
#2403	2
#2308	2
C₂×#379	2