Subgroups — #34987

Order 256.

1451 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2853	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2847	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2626	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2617	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2613	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2467	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2463	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2460	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2456	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2321	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₄×#120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#539	—	2	8	no	—
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#394	C₂²	1	4	yes	—
44	#394	C₂²	1	4	yes	—
45	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#392	C₂²	1	4	yes	—
48	#392	C₂²	1	4	yes	—
49	#392	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#386	C₂²	1	2	yes	—
60	#386	C₂²	1	2	yes	—
61	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#385	C₂²	1	2	yes	—
65	#385	C₂²	1	2	yes	—
66	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#381	C₂²	1	2	yes	—
69	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
72	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#379	C₂²	1	2	yes	—
74	#379	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#126	—	2	8	no	—
102	#125	—	2	8	no	—
103	#123	—	2	8	no	—
104	#123	—	2	8	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
108	#121	—	2	4	no	—
109	#121	—	4	4	no	—
110	#120	—	2	8	no	—
111	#120	—	2	8	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	C₄×D₄	—	2	16	no	—
114	C₄×D₄	—	2	16	no	—
115	C₄×D₄	—	4	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	C₂⁴	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	2	no	—
166	C₂⁴	—	4	2	no	—
167	C₂⁴	—	4	2	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
171	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
172	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	2	32	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
239	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄²	—	2	8	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
291	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	8	2	no	—
295	D₄	—	2	32	no	—
296	D₄	—	4	16	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	8	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	16	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	4	16	no	—
346	C₂²	—	4	16	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	#525	1	4	yes	—
360	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
364	C₂²	#585	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	4	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	4	4	no	—
378	C₂	—	4	4	no	—
379	C₂	—	8	2	no	—
380	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#3459	1	2	yes	—
382	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#3487	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#3505	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#539	C₂	semidirect
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. #2853	C₂	semidirect
4. #2848	C₂	semidirect
5. #2847	C₂	semidirect
6. #2626	C₂	semidirect
7. #2617	C₂	semidirect
8. #2613	C₂	semidirect
9. #2467	C₂	semidirect
10. #2463	C₂	semidirect
11. #2460	C₂	semidirect
12. #2456	C₂	semidirect
13. #2321	C₂	semidirect
14. #2313	C₂	semidirect
15. C₄×#120	C₂	semidirect
20. C₂×#126	C₂²	semidirect
21. C₂×#125	C₂²	semidirect
23. C₂×#123	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×#121	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
40. #399	C₂²	semidirect
41. #397	C₂²	semidirect
42. #396	C₂²	semidirect
45. #394	C₂²	semidirect
46. #393	C₂²	semidirect
49. #392	C₂²	semidirect
50. #390	C₂²	semidirect
51. #388	C₂²	semidirect
52. #388	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #388	C₂²	semidirect
55. #387	C₂²	semidirect
56. #387	C₂²	semidirect
57. #387	C₂²	semidirect
58. #387	C₂²	semidirect
61. #386	C₂²	semidirect
62. #386	C₂²	semidirect
63. #386	C₂²	semidirect
66. #385	C₂²	semidirect
67. #385	C₂²	semidirect
71. #380	C₂²	semidirect
72. #380	C₂²	semidirect
76. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
116. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#539	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2853	2
#2848	2
#2847	2
#2626	2
#2617	2
#2613	2
#2467	2
#2463	2
#2460	2
#2456	2
#2321	2
#2313	2
C₄×#120	2