Subgroups — #34992

Order 256.

2173 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 268 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2849	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2622	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2483	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2412	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2405	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2315	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
15	C₂×#123	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂×#120	—	2	8	no	—
17	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#397	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#394	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#381	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#379	C₂²	1	4	yes	—
41	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
44	C₂⁵	—	2	8	no	—
45	C₂⁵	—	4	8	no	—
46	C₂⁵	D₄	1	8	yes	—
47	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
56	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
62	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	#123	—	4	16	no	—
70	#120	—	2	8	no	—
71	#120	—	2	16	no	—
72	#120	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
94	#95	C₂³	1	16	yes	complemented
95	#95	C₂³	1	16	yes	complemented
96	C₂⁴	—	2	4	no	—
97	C₂⁴	—	2	8	no	—
98	C₂⁴	—	2	32	no	—
99	C₂⁴	—	2	8	no	—
100	C₂⁴	—	2	8	no	—
101	C₂⁴	—	2	4	no	—
102	C₂⁴	—	2	8	no	—
103	C₂⁴	—	2	8	no	—
104	C₂⁴	—	2	2	no	—
105	C₂⁴	—	2	4	no	—
106	C₂⁴	—	4	32	no	—
107	C₂⁴	—	4	4	no	—
108	C₂⁴	—	4	4	no	—
109	C₂⁴	—	4	4	no	—
110	C₂⁴	—	4	4	no	—
111	C₂⁴	—	4	4	no	—
112	C₂⁴	—	4	64	no	—
113	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
115	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂⁴	#41	1	8	yes	—
119	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
120	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
125	C₂×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂×D₄	—	2	16	no	—
132	C₂×D₄	—	4	8	no	—
133	C₂×D₄	—	4	32	no	—
134	C₂×D₄	—	4	16	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
165	C₂³	—	2	32	no	—
166	C₂³	—	2	8	no	—
167	C₂³	—	2	16	no	—
168	C₂³	—	2	4	no	—
169	C₂³	—	2	4	no	—
170	C₂³	—	2	4	no	—
171	C₂³	—	2	4	no	—
172	C₂³	—	2	4	no	—
173	C₂³	—	2	16	no	—
174	C₂³	—	2	16	no	—
175	C₂³	—	2	8	no	—
176	C₂³	—	2	16	no	—
177	C₂³	—	2	16	no	—
178	C₂³	—	2	4	no	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	2	4	no	—
181	C₂³	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	8	no	—
184	C₂³	—	4	8	no	—
185	C₂³	—	4	8	no	—
186	C₂³	—	4	8	no	—
187	C₂³	—	4	8	no	—
188	C₂³	—	4	16	no	—
189	C₂³	—	4	32	no	—
190	C₂³	—	4	32	no	—
191	C₂³	—	4	128	no	—
192	C₂³	—	4	16	no	—
193	C₂³	—	4	8	no	—
194	C₂³	—	4	4	no	—
195	C₂³	—	8	8	no	—
196	C₂³	#123	1	16	yes	complemented
197	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
198	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
201	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
202	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
203	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
204	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
205	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
206	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
207	D₄	—	4	16	no	—
208	D₄	—	4	8	no	—
209	D₄	—	4	8	no	—
210	D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄	—	2	16	no	—
217	C₂×C₄	—	2	16	no	—
218	C₂×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₄	—	4	16	no	—
220	C₂×C₄	—	4	16	no	—
221	C₂×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂×C₄	—	4	16	no	—
224	C₂×C₄	—	8	8	no	—
225	C₂²	—	2	32	no	—
226	C₂²	—	2	4	no	—
227	C₂²	—	2	4	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	4	no	—
230	C₂²	—	2	4	no	—
231	C₂²	—	2	8	no	—
232	C₂²	—	2	8	no	—
233	C₂²	—	2	16	no	—
234	C₂²	—	2	8	no	—
235	C₂²	—	2	4	no	—
236	C₂²	—	2	4	no	—
237	C₂²	—	2	4	no	—
238	C₂²	—	4	16	no	—
239	C₂²	—	4	32	no	—
240	C₂²	—	4	32	no	—
241	C₂²	—	4	16	no	—
242	C₂²	—	4	8	no	—
243	C₂²	—	4	2	no	—
244	C₂²	—	4	4	no	—
245	C₂²	—	4	8	no	—
246	C₂²	—	8	8	no	—
247	C₂²	C₂×#123	1	4	yes	—
248	C₂²	C₂×#123	1	4	yes	—
249	C₂²	C₂×#123	1	4	yes	—
250	C₂²	#534	1	8	yes	—
251	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
253	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
254	C₄	—	4	2	no	—
255	C₄	—	4	8	no	—
256	C₄	—	4	4	no	—
257	C₄	—	4	8	no	—
258	C₂	—	2	4	no	—
259	C₂	—	2	8	no	—
260	C₂	—	2	4	no	—
261	C₂	—	2	4	no	—
262	C₂	—	4	4	no	—
263	C₂	—	8	2	no	—
264	C₂	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
265	C₂	C₂×#534	1	2	yes	—
266	C₂	#3490	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×#120	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
3. #2849	C₂	semidirect
4. #2622	C₂	semidirect
5. #2483	C₂	semidirect
6. #2412	C₂	semidirect
7. #2405	C₂	semidirect
8. #2315	C₂	semidirect
9. #2308	C₂	semidirect
10. C₂×#379	C₂	semidirect
14. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
15. C₂×#123	C₂²	semidirect
26. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
27. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
28. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
29. #397	C₂²	semidirect
30. #394	C₂²	semidirect
31. #386	C₂²	semidirect
32. #386	C₂²	semidirect
33. #386	C₂²	semidirect
34. #385	C₂²	semidirect
35. #385	C₂²	semidirect
36. #385	C₂²	semidirect
37. #381	C₂²	semidirect
38. #381	C₂²	semidirect
39. #380	C₂²	semidirect
41. #379	C₂²	semidirect
42. #379	C₂²	semidirect
43. #379	C₂²	semidirect
73. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
93. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
94. #95	C₂³	semidirect
95. #95	C₂³	semidirect
196. C₂³	#123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#120	2
C₂³×C₂²⋊C₄	2
#2849	2
#2622	2
#2483	2
#2412	2
#2405	2
#2315	2
#2308	2
C₂×#379	2