Subgroups — #35000

Order 256.

1877 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2854	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2618	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2617	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2543	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2534	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2486	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2416	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#534	—	2	16	no	—
21	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#121	—	2	8	no	—
24	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
44	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
65	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
76	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
77	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
87	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	complemented
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#123	—	2	16	no	—
102	#123	—	2	16	no	—
103	#121	—	2	32	no	—
104	#121	—	2	8	no	—
105	#121	—	2	8	no	—
106	#121	—	2	8	no	—
107	#121	—	2	8	no	—
108	#121	—	4	8	no	—
109	#120	—	2	16	no	—
110	#120	—	2	16	no	—
111	C₄×D₄	—	2	8	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	C₄×D₄	—	2	8	no	—
114	C₄×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
141	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	#95	C₂³	1	8	yes	—
147	#95	C₂³	1	8	yes	—
148	C₂⁴	—	2	2	no	—
149	C₂⁴	—	2	2	no	—
150	C₂⁴	—	2	4	no	—
151	C₂⁴	—	2	4	no	—
152	C₂⁴	—	2	4	no	—
153	C₂⁴	—	4	2	no	—
154	C₂⁴	—	4	2	no	—
155	C₂⁴	—	4	2	no	—
156	C₂⁴	—	4	2	no	—
157	C₂⁴	—	4	4	no	—
158	C₂⁴	—	4	4	no	—
159	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
162	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
163	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₂×D₄	—	2	32	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	8	no	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	2	8	no	—
179	C₂×D₄	—	2	16	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	16	no	—
185	C₂×D₄	—	4	8	no	—
186	C₂×D₄	—	4	8	no	—
187	C₂×D₄	—	4	32	no	—
188	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
189	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	8	no	—
271	C₂³	—	4	8	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	—	4	8	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	8	8	no	—
279	C₂³	—	8	8	no	—
280	C₂³	#121	1	16	yes	complemented
281	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
292	D₄	—	2	16	no	—
293	D₄	—	2	16	no	—
294	D₄	—	4	8	no	—
295	D₄	—	4	16	no	—
296	D₄	—	4	16	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	8	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	4	16	no	—
348	C₂²	—	4	16	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	8	no	—
356	C₂²	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	8	16	no	—
358	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
360	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
361	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
365	C₂²	#585	1	2	yes	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	8	no	—
374	C₄	#534	1	4	yes	complemented
375	C₂	—	2	4	no	—
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	2	4	no	—
378	C₂	—	4	4	no	—
379	C₂	—	8	4	no	—
380	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#3496	1	2	yes	—
384	C₂	#3505	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#534	C₂	semidirect
2. C₂²×#121	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
4. #2854	C₂	semidirect
5. #2847	C₂	semidirect
6. #2618	C₂	semidirect
7. #2617	C₂	semidirect
8. #2543	C₂	semidirect
9. #2534	C₂	semidirect
10. #2486	C₂	semidirect
11. #2416	C₂	semidirect
12. #2408	C₂	semidirect
13. #2308	C₂	semidirect
14. C₂×#380	C₂	semidirect
17. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
19. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
22. C₂×#123	C₂²	semidirect
26. C₂×#121	C₂²	semidirect
27. C₂×#121	C₂²	semidirect
28. C₂×#121	C₂²	semidirect
29. C₂×#121	C₂²	semidirect
31. C₂×#120	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
37. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
38. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
39. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
42. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
43. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
44. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
45. #398	C₂²	semidirect
46. #397	C₂²	semidirect
47. #396	C₂²	semidirect
48. #394	C₂²	semidirect
49. #394	C₂²	semidirect
50. #392	C₂²	semidirect
51. #390	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #386	C₂²	semidirect
55. #386	C₂²	semidirect
56. #386	C₂²	semidirect
57. #386	C₂²	semidirect
58. #381	C₂²	semidirect
59. #380	C₂²	semidirect
60. #380	C₂²	semidirect
61. #380	C₂²	semidirect
62. #380	C₂²	semidirect
63. #380	C₂²	semidirect
64. #379	C₂²	semidirect
65. C₂×#95	C₂²	semidirect
76. C₂²×D₄	D₄	semidirect
87. C₂³×C₄	D₄	semidirect
161. C₂⁴	C₂×D₄	semidirect
189. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
220. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
280. C₂³	#121	semidirect
374. C₄	#534	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#534	2
C₂²×#121	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2854	2
#2847	2
#2618	2
#2617	2
#2543	2
#2534	2
#2486	2
#2416	2
#2408	2
#2308	2
C₂×#380	2