Subgroups — #35005

Order 256.

1321 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#538	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2639	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2617	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2559	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2557	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2496	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2428	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2422	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2325	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#538	—	2	16	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#397	C₂²	1	4	yes	—
39	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#394	C₂²	1	4	yes	—
41	#394	C₂²	1	4	yes	—
42	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#392	C₂²	1	4	yes	—
45	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	—
58	#386	C₂²	1	4	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	—
60	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
64	#380	C₂²	1	2	yes	—
65	#380	C₂²	1	2	yes	—
66	#380	C₂²	1	2	yes	—
67	#380	C₂²	1	2	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
74	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
97	#127	—	4	2	no	—
98	#126	—	2	16	no	—
99	#124	—	2	16	no	—
100	#123	—	2	16	no	—
101	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
102	#121	—	2	8	no	—
103	#121	—	2	8	no	—
104	#121	—	2	8	no	—
105	#121	—	2	16	no	—
106	#121	—	4	4	no	—
107	#121	—	4	4	no	—
108	#120	—	2	16	no	—
109	C₄×D₄	—	2	16	no	—
110	C₄×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#95	C₂³	1	2	yes	—
148	#95	C₂³	1	2	yes	—
149	#95	C₂³	1	2	yes	—
150	#95	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	—	2	2	no	—
159	C₂⁴	—	4	1	no	—
160	C₂⁴	—	4	1	no	—
161	C₂⁴	—	4	1	no	—
162	C₂⁴	—	4	1	no	—
163	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	2	8	no	—
171	C₂×D₄	—	2	8	no	—
172	C₂×D₄	—	2	8	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
252	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
253	C₄²	—	2	8	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	4	1	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	1	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	8	4	no	—
290	D₄	—	4	16	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	8	4	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	8	no	—
295	D₄	—	8	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	8	8	no	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	4	16	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	#532	1	4	yes	—
363	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	#538	1	4	yes	complemented
382	C₂	—	2	4	no	—
383	C₂	—	4	4	no	—
384	C₂	—	8	4	no	—
385	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂×#538	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#3455	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#3505	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#3506	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#538	C₂	semidirect
2. #2857	C₂	semidirect
3. #2856	C₂	semidirect
4. #2847	C₂	semidirect
5. #2639	C₂	semidirect
6. #2617	C₂	semidirect
7. #2559	C₂	semidirect
8. #2557	C₂	semidirect
9. #2496	C₂	semidirect
10. #2491	C₂	semidirect
11. #2428	C₂	semidirect
12. #2422	C₂	semidirect
13. #2325	C₂	semidirect
14. C₄×#121	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
18. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
19. C₂×#127	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
37. #400	C₂²	semidirect
39. #397	C₂²	semidirect
42. #394	C₂²	semidirect
43. #393	C₂²	semidirect
45. #391	C₂²	semidirect
46. #390	C₂²	semidirect
47. #390	C₂²	semidirect
48. #390	C₂²	semidirect
49. #390	C₂²	semidirect
50. #389	C₂²	semidirect
51. #389	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #388	C₂²	semidirect
55. #387	C₂²	semidirect
60. #386	C₂²	semidirect
61. #385	C₂²	semidirect
62. #384	C₂²	semidirect
63. #384	C₂²	semidirect
68. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
73. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
122. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
381. C₄	#538	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#538	2
#2857	2
#2856	2
#2847	2
#2639	2
#2617	2
#2559	2
#2557	2
#2496	2
#2491	2
#2428	2
#2422	2
#2325	2
C₄×#121	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2