Subgroups — #35019

Order 256.

1497 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 285 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2850	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2639	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2591	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2561	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2504	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2503	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2308	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#121	—	2	8	no	—
24	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#400	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#393	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#386	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#382	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#381	C₂²	1	8	yes	—
47	#379	C₂²	1	8	yes	—
48	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
51	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
52	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
57	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
68	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#124	—	4	8	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
83	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
84	#121	—	2	8	no	—
85	#121	—	2	8	no	—
86	#121	—	2	8	no	—
87	#121	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
108	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
111	#95	C₂³	1	4	yes	—
112	#95	C₂³	1	4	yes	—
113	#95	C₂³	1	16	yes	—
114	#95	C₂³	1	16	yes	—
115	C₂⁴	—	2	4	no	—
116	C₂⁴	—	2	8	no	—
117	C₂⁴	—	4	2	no	—
118	C₂⁴	—	4	2	no	—
119	C₂⁴	—	4	4	no	—
120	C₂⁴	—	4	4	no	—
121	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂⁴	#41	1	8	yes	—
123	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
130	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
132	C₂×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂×D₄	—	2	16	no	—
135	C₂×D₄	—	2	16	no	—
136	C₂×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	8	no	—
139	C₂×D₄	—	4	4	no	—
140	C₂×D₄	—	4	16	no	—
141	C₂×D₄	—	4	32	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
186	C₄²	—	2	8	no	—
187	C₄²	—	4	4	no	—
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	8	no	—
196	C₂³	—	2	8	no	—
197	C₂³	—	2	8	no	—
198	C₂³	—	4	4	no	—
199	C₂³	—	4	4	no	—
200	C₂³	—	4	16	no	—
201	C₂³	—	4	8	no	—
202	C₂³	—	4	8	no	—
203	C₂³	—	4	8	no	—
204	C₂³	—	8	16	no	—
205	C₂³	#124	1	16	yes	complemented
206	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
207	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
209	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
210	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
211	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
212	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
213	Q₈	—	4	8	no	—
214	Q₈	—	4	8	no	—
215	D₄	—	4	8	no	—
216	D₄	—	4	16	no	—
217	D₄	—	4	16	no	—
218	D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂×C₄	—	4	16	no	—
239	C₂×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
246	C₂²	—	2	2	no	—
247	C₂²	—	2	2	no	—
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	2	no	—
250	C₂²	—	2	2	no	—
251	C₂²	—	2	2	no	—
252	C₂²	—	2	8	no	—
253	C₂²	—	2	8	no	—
254	C₂²	—	2	8	no	—
255	C₂²	—	4	16	no	—
256	C₂²	—	4	4	no	—
257	C₂²	—	4	4	no	—
258	C₂²	—	4	4	no	—
259	C₂²	—	4	16	no	—
260	C₂²	—	8	16	no	—
261	C₂²	C₂×#124	1	4	yes	—
262	C₂²	C₂×#124	1	4	yes	—
263	C₂²	C₂×#124	1	4	yes	—
264	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
266	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
267	C₂²	#585	1	2	yes	—
268	C₄	—	2	2	no	—
269	C₄	—	2	2	no	—
270	C₄	—	2	2	no	—
271	C₄	—	4	4	no	—
272	C₄	—	4	4	no	—
273	C₄	—	4	4	no	—
274	C₄	—	4	8	no	—
275	C₄	#534	1	4	yes	—
276	C₂	—	2	4	no	—
277	C₂	—	2	4	no	—
278	C₂	—	2	4	no	—
279	C₂	—	8	4	no	—
280	C₂	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
281	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
282	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#3505	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2850	C₂	semidirect
4. #2639	C₂	semidirect
5. #2591	C₂	semidirect
6. #2561	C₂	semidirect
7. #2504	C₂	semidirect
8. #2503	C₂	semidirect
9. #2436	C₂	semidirect
10. #2435	C₂	semidirect
11. #2308	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
13. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
17. C₂×#124	C₂²	semidirect
21. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
29. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
34. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
35. #400	C₂²	semidirect
36. #397	C₂²	semidirect
37. #394	C₂²	semidirect
38. #393	C₂²	semidirect
39. #391	C₂²	semidirect
40. #390	C₂²	semidirect
41. #388	C₂²	semidirect
42. #386	C₂²	semidirect
43. #386	C₂²	semidirect
44. #386	C₂²	semidirect
45. #382	C₂²	semidirect
50. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
51. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
52. C₂×#95	C₂²	semidirect
205. C₂³	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
C₂²×#121	2
#2850	2
#2639	2
#2591	2
#2561	2
#2504	2
#2503	2
#2436	2
#2435	2
#2308	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2