Subgroups — #35084

Order 256.

1449 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2855	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2848	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2638	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2583	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2561	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2486	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2483	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2415	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2405	C₂	1	2	yes	maximal
13	#2322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#394	C₂²	1	8	yes	—
44	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#386	C₂²	1	4	yes	—
51	#385	C₂²	1	4	yes	—
52	#385	C₂²	1	4	yes	—
53	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#381	C₂²	1	4	yes	—
56	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#380	C₂²	1	2	yes	—
59	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#379	C₂²	1	4	yes	—
62	#379	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
68	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
69	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
77	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
78	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#123	—	2	16	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
94	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
95	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
97	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
98	C₄×D₄	—	2	8	no	—
99	C₄×D₄	—	2	8	no	—
100	C₄×D₄	—	2	8	no	—
101	C₄×D₄	—	2	8	no	—
102	#117	—	4	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
133	#95	C₂³	1	4	yes	—
134	#95	C₂³	1	4	yes	—
135	#95	C₂³	1	8	yes	—
136	#95	C₂³	1	8	yes	—
137	#95	C₂³	1	8	yes	—
138	#95	C₂³	1	8	yes	—
139	C₂⁴	—	2	2	no	—
140	C₂⁴	—	2	4	no	—
141	C₂⁴	—	2	4	no	—
142	C₂⁴	—	2	4	no	—
143	C₂⁴	—	2	4	no	—
144	C₂⁴	—	4	2	no	—
145	C₂⁴	—	4	2	no	—
146	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
154	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
155	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
156	C₂×D₄	—	2	32	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂×D₄	—	2	4	no	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	2	4	no	—
223	C₄²	—	4	4	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	8	no	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	4	4	no	—
239	C₂³	—	4	16	no	—
240	C₂³	—	4	16	no	—
241	C₂³	—	4	4	no	—
242	C₂³	—	4	4	no	—
243	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
247	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
248	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
249	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
250	Q₈	—	4	8	no	—
251	Q₈	—	4	8	no	—
252	D₄	—	2	16	no	—
253	D₄	—	2	16	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
289	C₂²	—	2	2	no	—
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	2	8	no	—
294	C₂²	—	2	8	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	4	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	8	no	—
300	C₂²	—	4	16	no	—
301	C₂²	—	4	16	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	#525	1	4	yes	—
307	C₂²	#536	1	4	yes	—
308	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
310	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
311	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	2	2	no	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	4	4	no	—
317	C₄	—	4	2	no	—
318	C₄	—	4	4	no	—
319	C₄	—	4	2	no	—
320	C₄	—	4	8	no	—
321	C₄	#534	1	4	yes	—
322	C₂	—	2	4	no	—
323	C₂	—	2	4	no	—
324	C₂	—	4	2	no	—
325	C₂	—	4	4	no	—
326	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
328	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#3520	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2855	C₂	semidirect
4. #2848	C₂	semidirect
5. #2638	C₂	semidirect
6. #2583	C₂	semidirect
7. #2561	C₂	semidirect
8. #2486	C₂	semidirect
9. #2483	C₂	semidirect
10. #2415	C₂	semidirect
11. #2409	C₂	semidirect
13. #2322	C₂	semidirect
14. #2280	C₂	semidirect
15. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
24. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
31. C₂×#117	C₂²	semidirect
33. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
34. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
39. #398	C₂²	semidirect
40. #397	C₂²	semidirect
41. #397	C₂²	semidirect
42. #395	C₂²	semidirect
44. #393	C₂²	semidirect
45. #391	C₂²	semidirect
46. #389	C₂²	semidirect
47. #389	C₂²	semidirect
48. #388	C₂²	semidirect
49. #387	C₂²	semidirect
53. #385	C₂²	semidirect
54. #385	C₂²	semidirect
56. #381	C₂²	semidirect
57. #381	C₂²	semidirect
59. #380	C₂²	semidirect
60. #380	C₂²	semidirect
64. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2855	2
#2848	2
#2638	2
#2583	2
#2561	2
#2486	2
#2483	2
#2415	2
#2409	2
#2405	2
#2322	2
#2280	2