Subgroups — #35085

Order 256.

1355 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 335 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2857	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2663	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2564	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2499	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2412	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#2322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#525	—	2	8	no	—
22	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
42	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#397	C₂²	1	8	yes	—
45	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#394	C₂²	1	8	yes	—
47	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#386	C₂²	1	8	yes	—
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#385	C₂²	1	4	yes	—
58	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#381	C₂²	1	4	yes	—
62	#380	C₂²	1	8	yes	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
69	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	4	4	no	—
72	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
73	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
74	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
82	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
94	#124	—	4	4	no	—
95	#123	—	2	8	no	—
96	#123	—	2	16	no	—
97	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
100	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
103	#121	—	2	4	no	—
104	#121	—	2	4	no	—
105	#120	—	2	8	no	—
106	C₄×D₄	—	2	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	8	no	—
108	#117	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	2	yes	—
142	#95	C₂³	1	2	yes	—
143	#95	C₂³	1	8	yes	—
144	#95	C₂³	1	8	yes	—
145	#95	C₂³	1	8	yes	—
146	#95	C₂³	1	8	yes	—
147	C₂⁴	—	2	4	no	—
148	C₂⁴	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	—	4	2	no	—
150	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	#41	—	4	16	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
160	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
163	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
164	C₂×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	8	no	—
168	C₂×D₄	—	2	8	no	—
169	C₂×D₄	—	2	2	no	—
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	complemented
227	C₄²	—	2	4	no	—
228	C₄²	—	2	4	no	—
229	C₄²	—	2	4	no	—
230	C₄²	—	4	4	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	2	8	no	—
237	C₂³	—	2	2	no	—
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	4	4	no	—
245	C₂³	—	4	16	no	—
246	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
250	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
251	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
252	Q₈	—	4	8	no	—
253	Q₈	—	4	8	no	—
254	Q₈	—	4	4	no	—
255	D₄	—	4	8	no	—
256	D₄	—	4	8	no	—
257	D₄	—	4	8	no	—
258	D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	16	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	8	no	—
299	C₂²	—	2	8	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	4	16	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	8	no	—
309	C₂²	#532	1	4	yes	—
310	C₂²	#536	1	4	yes	—
311	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	8	no	—
319	C₄	—	4	4	no	—
320	C₄	—	4	2	no	—
321	C₄	—	4	2	no	—
322	C₄	—	4	4	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	#534	1	4	yes	—
326	C₂	—	2	4	no	—
327	C₂	—	2	4	no	—
328	C₂	—	4	2	no	—
329	C₂	—	8	2	no	—
330	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#3520	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2857	C₂	semidirect
4. #2850	C₂	semidirect
5. #2663	C₂	semidirect
6. #2564	C₂	semidirect
7. #2503	C₂	semidirect
8. #2501	C₂	semidirect
9. #2499	C₂	semidirect
10. #2436	C₂	semidirect
11. #2434	C₂	semidirect
12. #2432	C₂	semidirect
13. #2412	C₂	semidirect
14. #2322	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
19. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
20. C₂×#124	C₂²	semidirect
42. #400	C₂²	semidirect
43. #399	C₂²	semidirect
45. #395	C₂²	semidirect
47. #393	C₂²	semidirect
48. #391	C₂²	semidirect
49. #391	C₂²	semidirect
50. #391	C₂²	semidirect
51. #390	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #387	C₂²	semidirect
58. #385	C₂²	semidirect
59. #384	C₂²	semidirect
60. #382	C₂²	semidirect
226. C₂²⋊C₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
#2857	2
#2850	2
#2663	2
#2564	2
#2503	2
#2501	2
#2499	2
#2436	2
#2434	2
#2432	2
#2412	2
#2322	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2