Subgroups — #35088

Order 256.

2693 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 285 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2849	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2613	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2430	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#2406	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2404	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×#381	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	—	2	16	no	—
13	C₂²×#41	—	2	8	no	—
14	C₂²×#41	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#41	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#534	—	2	16	no	—
23	C₂×#123	—	2	8	no	—
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#395	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#393	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#386	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#385	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
49	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
50	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#41	—	2	128	no	—
54	C₂×#41	—	2	32	no	—
55	C₂×#41	—	2	32	no	—
56	C₂×#41	—	2	16	no	—
57	C₂×#41	—	2	16	no	—
58	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
59	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
62	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
64	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
65	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×D₄	D₄	1	16	yes	complemented
68	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	complemented
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	#123	—	2	16	no	—
89	#123	—	2	8	no	—
90	#123	—	2	8	no	—
91	#123	—	2	16	no	—
92	#123	—	2	16	no	—
93	#121	—	2	32	no	—
94	#120	—	2	16	no	—
95	#120	—	2	16	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
112	#95	C₂³	1	8	yes	—
113	#95	C₂³	1	8	yes	—
114	#95	C₂³	1	16	yes	—
115	C₂⁴	—	2	4	no	—
116	C₂⁴	—	2	4	no	—
117	C₂⁴	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	—	2	4	no	—
119	C₂⁴	—	4	4	no	—
120	C₂⁴	—	4	8	no	—
121	C₂⁴	—	4	4	no	—
122	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
123	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
127	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	#41	—	2	128	no	—
131	#41	—	2	128	no	—
132	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
135	C₂×D₄	—	2	32	no	—
136	C₂×D₄	—	2	64	no	—
137	C₂×D₄	—	2	16	no	—
138	C₂×D₄	—	2	8	no	—
139	C₂×D₄	—	2	8	no	—
140	C₂×D₄	—	2	8	no	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	16	no	—
147	C₂×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂×D₄	—	4	16	no	—
149	C₂×D₄	—	4	16	no	—
150	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
151	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
152	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
192	C₂³	—	2	4	no	—
193	C₂³	—	2	4	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	16	no	—
196	C₂³	—	2	4	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	16	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	8	no	—
202	C₂³	—	4	8	no	—
203	C₂³	—	4	16	no	—
204	C₂³	—	4	16	no	—
205	C₂³	—	4	16	no	—
206	C₂³	—	4	16	no	—
207	C₂³	—	4	8	no	—
208	C₂³	—	4	4	no	—
209	C₂³	—	8	8	no	—
210	C₂³	#120	1	16	yes	—
211	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
212	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
213	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
214	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
215	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
217	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
219	Q₈	—	2	32	no	—
220	D₄	—	2	32	no	—
221	D₄	—	2	32	no	—
222	D₄	—	2	32	no	—
223	D₄	—	4	8	no	—
224	D₄	—	4	8	no	—
225	D₄	—	8	16	no	—
226	C₂×C₄	—	2	64	no	—
227	C₂×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂×C₄	—	2	16	no	—
229	C₂×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂×C₄	—	2	16	no	—
242	C₂×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂×C₄	—	8	8	no	—
245	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
247	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²	—	2	4	no	—
249	C₂²	—	2	4	no	—
250	C₂²	—	2	4	no	—
251	C₂²	—	2	8	no	—
252	C₂²	—	2	8	no	—
253	C₂²	—	2	8	no	—
254	C₂²	—	2	8	no	—
255	C₂²	—	2	16	no	—
256	C₂²	—	4	16	no	—
257	C₂²	—	4	32	no	—
258	C₂²	—	4	8	no	—
259	C₂²	—	4	8	no	—
260	C₂²	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	4	4	no	—
262	C₂²	—	4	8	no	—
263	C₂²	—	8	8	no	—
264	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
265	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
266	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
267	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²	#585	1	4	yes	—
270	C₄	—	2	4	no	—
271	C₄	—	2	8	no	—
272	C₄	—	2	4	no	—
273	C₄	—	4	2	no	—
274	C₄	—	4	4	no	—
275	C₄	—	4	8	no	—
276	C₂	—	2	4	no	—
277	C₂	—	2	4	no	—
278	C₂	—	2	4	no	—
279	C₂	—	4	8	no	—
280	C₂	—	8	2	no	—
281	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
282	C₂	#3449	1	2	yes	—
283	C₂	#3485	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#41	C₂	semidirect
2. C₂×#534	C₂	semidirect
3. C₂²×#123	C₂	semidirect
4. #2849	C₂	semidirect
5. #2614	C₂	semidirect
6. #2613	C₂	semidirect
7. #2430	C₂	semidirect
8. #2406	C₂	semidirect
9. #2404	C₂	semidirect
10. #2308	C₂	semidirect
11. C₂×#381	C₂	semidirect
15. C₂²×#41	C₂²	semidirect
16. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
19. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
21. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
27. C₂×#123	C₂²	semidirect
28. C₂×#123	C₂²	semidirect
29. C₂×#121	C₂²	semidirect
31. C₂×#120	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
35. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
36. #395	C₂²	semidirect
37. #394	C₂²	semidirect
38. #393	C₂²	semidirect
39. #392	C₂²	semidirect
40. #386	C₂²	semidirect
41. #386	C₂²	semidirect
42. #386	C₂²	semidirect
43. #385	C₂²	semidirect
44. #381	C₂²	semidirect
45. #381	C₂²	semidirect
46. #381	C₂²	semidirect
47. #381	C₂²	semidirect
48. #379	C₂²	semidirect
49. C₂×#95	C₂²	semidirect
67. C₂²×D₄	D₄	semidirect
78. C₂³×C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#41	2
C₂×#534	2
C₂²×#123	2
#2849	2
#2614	2
#2613	2
#2430	2
#2406	2
#2404	2
#2308	2
C₂×#381	2