Subgroups — #350910

Order 512.

759 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33226	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33068	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33024	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9897	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9564	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9562	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9221	C₂	1	2	yes	maximal
10	#9219	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8785	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#488	—	2	2	no	—
13	C₂×#474	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#459	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
17	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1988	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1982	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1958	—	2	1	no	—
23	#1958	—	2	1	no	—
24	#1957	C₂²	1	2	yes	—
25	#1956	C₂²	1	2	yes	—
26	#1948	C₂²	1	2	yes	—
27	#1925	—	2	2	no	—
28	#1920	—	2	2	no	—
29	#1879	—	2	2	no	—
30	#1864	—	2	2	no	—
31	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1802	C₂²	1	2	yes	—
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
37	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
38	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
41	#1296	C₂²	1	2	yes	—
42	#1296	C₂²	1	2	yes	—
43	#1277	C₂²	1	2	yes	—
44	#1277	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#125	—	2	1	no	—
50	C₂×#124	—	2	1	no	—
51	C₂×#124	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
55	#488	—	4	8	no	—
56	#474	—	2	4	no	—
57	#459	—	2	4	no	—
58	C₈×D₄	—	2	4	no	—
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂×#107	—	2	1	no	—
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#103	—	2	2	no	—
67	C₂×#103	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	1	no	—
70	C₂×#102	—	2	2	no	—
71	C₂×#102	—	2	2	no	—
72	C₂×#102	—	2	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	1	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	#390	—	2	2	no	—
83	#390	—	2	2	no	—
84	#389	—	2	2	no	—
85	#389	—	2	2	no	—
86	#384	C₂³	1	2	yes	—
87	#382	—	2	1	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#340	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	2	no	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	1	no	—
100	#332	—	2	4	no	—
101	#331	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂×D₈	—	4	2	no	—
110	C₂×D₈	—	4	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	#127	—	2	2	no	—
123	#127	—	2	2	no	—
124	#125	—	4	4	no	—
125	#124	—	4	4	no	—
126	#124	—	4	2	no	—
127	#124	—	4	2	no	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	C₄×D₄	#41	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	#107	—	4	2	no	—
154	#106	—	4	4	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	—
161	#103	—	4	4	no	—
162	#103	—	4	4	no	—
163	#102	—	4	4	no	—
164	#102	—	4	2	no	—
165	#102	—	4	4	no	—
166	#102	—	4	4	no	—
167	#102	—	4	2	no	—
168	#102	—	4	4	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
170	C₄×C₈	—	2	4	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	4	4	no	—
176	C₄×C₈	—	4	2	no	—
177	#95	—	2	2	no	—
178	#95	—	2	1	no	—
179	#95	—	4	2	no	—
180	C₂⁴	—	2	1	no	—
181	C₂⁴	—	4	1	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
186	C₂×D₄	—	2	1	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	1	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	1	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	1	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	1	no	—
197	C₂×D₄	—	8	2	no	—
198	C₂×D₄	#124	1	2	yes	—
199	C₂×D₄	#135	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	D₈	—	8	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	16	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	1	no	—
227	C₂×C₈	—	4	1	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
245	C₄⋊C₄	#124	1	2	yes	—
246	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	—	4	1	no	—
256	C₄²	—	4	1	no	—
257	C₄²	—	4	4	no	—
258	C₄²	#135	1	2	yes	—
259	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
260	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	4	1	no	—
265	C₂³	—	4	1	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	8	1	no	—
268	C₂³	—	8	1	no	—
269	C₂³	—	8	1	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
273	Q₈	—	8	2	no	—
274	Q₈	—	8	2	no	—
275	D₄	—	2	2	no	—
276	D₄	—	2	4	no	—
277	D₄	—	8	2	no	—
278	D₄	—	8	2	no	—
279	D₄	—	8	1	no	—
280	D₄	—	8	1	no	—
281	D₄	—	8	2	no	—
282	D₄	—	16	2	no	—
283	D₄	#488	1	4	yes	complemented
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	1	no	—
300	C₂×C₄	—	8	1	no	—
301	C₂×C₄	—	8	1	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	4	2	no	—
317	C₈	—	4	4	no	—
318	C₈	—	8	1	no	—
319	C₈	—	8	1	no	—
320	C₈	—	8	2	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	16	1	no	—
327	C₂²	—	16	1	no	—
328	C₂²	—	16	1	no	—
329	C₂²	—	16	2	no	—
330	C₂²	—	16	2	no	—
331	C₂²	#2850	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3038	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3050	1	2	yes	—
335	C₂²	#3067	1	2	yes	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	4	2	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	—	16	1	no	—
342	C₄	—	16	2	no	—
343	C₄	#3106	1	2	yes	—
344	C₄	#3109	1	2	yes	—
345	C₄	C₂×#488	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#3131	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3168	1	2	yes	—
348	C₂	—	4	4	no	—
349	C₂	—	32	1	no	—
350	C₂	#19110	1	2	yes	—
351	C₂	#19269	1	2	yes	—
352	C₂	#33030	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#33044	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#33062	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#459	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33226	C₂	semidirect
2. #33068	C₂	semidirect
4. C₄×C₈×D₄	C₂	semidirect
5. #9897	C₂	semidirect
6. #9696	C₂	semidirect
7. #9564	C₂	semidirect
8. #9562	C₂	semidirect
10. #9219	C₂	semidirect
11. #8785	C₂	semidirect
283. D₄	#488	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33226	2
#33068	2
#33024	2
C₄×C₈×D₄	2
#9897	2
#9696	2
#9564	2
#9562	2
#9221	2
#9219	2
#8785	2