Subgroups — #35145

Order 256.

1131 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#126	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2860	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2664	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2662	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2604	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2603	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2601	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2583	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2561	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#2413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2411	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#2321	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#529	—	2	8	no	—
19	C₂×#126	—	2	8	no	—
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#399	C₂²	1	2	yes	—
46	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#397	C₂²	1	2	yes	—
49	#396	C₂²	1	4	yes	—
50	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#394	C₂²	1	4	yes	—
53	#394	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#393	C₂²	1	2	yes	—
55	#392	C₂²	1	2	yes	—
56	#390	C₂²	1	4	yes	—
57	#390	C₂²	1	4	yes	—
58	#390	C₂²	1	4	yes	—
59	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#388	C₂²	1	4	yes	—
63	#388	C₂²	1	4	yes	—
64	#388	C₂²	1	4	yes	—
65	#388	C₂²	1	4	yes	—
66	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#386	C₂²	1	2	yes	—
71	#386	C₂²	1	4	yes	—
72	#386	C₂²	1	2	yes	—
73	#385	C₂²	1	2	yes	—
74	#385	C₂²	1	2	yes	—
75	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
76	#381	C₂²	1	2	yes	—
77	#379	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
84	C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
85	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#126	—	2	8	no	—
98	#126	—	2	8	no	—
99	#126	—	2	8	no	—
100	#126	—	2	8	no	—
101	#126	—	2	8	no	—
102	#125	—	2	4	no	—
103	#124	—	2	4	no	—
104	#123	—	2	8	no	—
105	#123	—	2	8	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	#121	—	2	4	no	—
108	#120	—	2	8	no	—
109	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₄×D₄	—	2	8	no	—
111	C₄×D₄	—	2	4	no	—
112	#117	—	2	8	no	—
113	#117	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
156	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	C₂⁴	—	2	2	no	—
175	C₂⁴	—	2	4	no	—
176	C₂⁴	—	4	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	4	4	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
260	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
261	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
262	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	8	8	no	—
279	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
281	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	4	4	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	4	8	no	—
285	D₄	—	8	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	8	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	8	8	no	—
339	C₂²	#532	1	4	yes	—
340	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
342	C₂²	#585	1	2	yes	—
343	C₂²	#585	1	2	yes	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	8	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	4	4	no	—
358	C₂	—	2	4	no	—
359	C₂	—	8	2	no	—
360	C₂	—	8	2	no	—
361	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#3521	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2539	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#529	C₂	semidirect
2. C₂²×#126	C₂	semidirect
3. #2860	C₂	semidirect
4. #2664	C₂	semidirect
5. #2662	C₂	semidirect
6. #2604	C₂	semidirect
7. #2603	C₂	semidirect
8. #2601	C₂	semidirect
9. #2591	C₂	semidirect
10. #2583	C₂	semidirect
11. #2561	C₂	semidirect
13. #2413	C₂	semidirect
14. #2411	C₂	semidirect
15. #2322	C₂	semidirect
16. #2321	C₂	semidirect
17. C₄×#117	C₂	semidirect
24. C₂×#126	C₂²	semidirect
25. C₂×#125	C₂²	semidirect
26. C₂×#124	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
36. C₂×#117	C₂²	semidirect
44. #400	C₂²	semidirect
46. #398	C₂²	semidirect
47. #398	C₂²	semidirect
50. #396	C₂²	semidirect
51. #395	C₂²	semidirect
53. #394	C₂²	semidirect
59. #389	C₂²	semidirect
60. #389	C₂²	semidirect
61. #389	C₂²	semidirect
66. #388	C₂²	semidirect
67. #388	C₂²	semidirect
68. #388	C₂²	semidirect
69. #387	C₂²	semidirect
75. #385	C₂²	semidirect
78. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
79. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
83. #376	C₂²	semidirect
84. C₄³	C₂²	semidirect
155. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
C₂²×#126	2
#2860	2
#2664	2
#2662	2
#2604	2
#2603	2
#2601	2
#2591	2
#2583	2
#2561	2
#2539	2
#2413	2
#2411	2
#2322	2
#2321	2
C₄×#117	2