Subgroups — #35152

Order 256.

1475 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 309 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2849	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2622	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2447	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2445	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2422	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2420	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#535	—	2	8	no	—
18	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#123	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	4	yes	—
40	#390	C₂²	1	4	yes	—
41	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#386	C₂²	1	4	yes	—
47	#386	C₂²	1	2	yes	—
48	#386	C₂²	1	2	yes	—
49	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#385	C₂²	1	4	yes	—
51	#385	C₂²	1	2	yes	—
52	#385	C₂²	1	2	yes	—
53	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#381	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#379	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
60	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#41	—	2	4	no	—
63	C₂×#41	—	2	4	no	—
64	C₂×#41	—	2	4	no	—
65	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
76	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#127	—	2	8	no	—
84	#124	—	2	8	no	—
85	#123	—	4	16	no	—
86	#121	—	2	8	no	—
87	#121	—	2	8	no	—
88	#120	—	2	16	no	—
89	C₄×D₄	—	2	16	no	—
90	C₄×D₄	—	2	16	no	—
91	#117	—	2	4	no	—
92	#117	—	2	4	no	—
93	#117	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	#95	C₂³	1	4	yes	—
123	#95	C₂³	1	4	yes	—
124	#95	C₂³	1	4	yes	—
125	#95	C₂³	1	4	yes	—
126	#95	C₂³	1	8	yes	—
127	#95	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂⁴	—	2	4	no	—
129	C₂⁴	—	2	4	no	—
130	C₂⁴	—	4	4	no	—
131	C₂⁴	—	4	4	no	—
132	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#41	—	4	16	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂×D₄	—	2	8	no	—
145	C₂×D₄	—	2	32	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂×D₄	—	4	8	no	—
154	C₂×D₄	—	4	8	no	—
155	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₄²	—	2	4	no	—
204	C₄²	—	2	4	no	—
205	C₄²	—	2	4	no	—
206	C₄²	—	2	4	no	—
207	C₄²	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	16	no	—
211	C₂³	—	2	4	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	8	no	—
214	C₂³	—	2	8	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	4	8	no	—
221	C₂³	—	4	8	no	—
222	C₂³	—	4	16	no	—
223	C₂³	—	4	16	no	—
224	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
225	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	4	4	no	—
230	D₄	—	2	16	no	—
231	D₄	—	2	16	no	—
232	D₄	—	4	8	no	—
233	D₄	—	4	4	no	—
234	D₄	—	8	8	no	—
235	D₄	—	8	8	no	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	32	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	#123	1	16	yes	complemented
262	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
269	C₂²	—	2	4	no	—
270	C₂²	—	2	2	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	2	8	no	—
274	C₂²	—	2	8	no	—
275	C₂²	—	2	8	no	—
276	C₂²	—	4	32	no	—
277	C₂²	—	4	8	no	—
278	C₂²	—	4	8	no	—
279	C₂²	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	2	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	4	4	no	—
284	C₂²	C₂×#123	1	4	yes	—
285	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
289	C₂²	#585	1	2	yes	—
290	C₄	—	2	4	no	—
291	C₄	—	4	2	no	—
292	C₄	—	4	4	no	—
293	C₄	—	4	4	no	—
294	C₄	—	4	2	no	—
295	C₄	—	4	2	no	—
296	C₄	—	4	2	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
299	C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
300	C₂	—	2	4	no	—
301	C₂	—	4	8	no	—
302	C₂	—	8	2	no	—
303	C₂	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#3460	1	2	yes	—
305	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#3506	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#535	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. #2849	C₂	semidirect
4. #2622	C₂	semidirect
5. #2447	C₂	semidirect
6. #2445	C₂	semidirect
7. #2422	C₂	semidirect
8. #2420	C₂	semidirect
9. #2317	C₂	semidirect
10. #2311	C₂	semidirect
11. #2309	C₂	semidirect
12. #2297	C₂	semidirect
13. #2296	C₂	semidirect
20. C₂×#123	C₂²	semidirect
33. #397	C₂²	semidirect
34. #397	C₂²	semidirect
35. #394	C₂²	semidirect
36. #394	C₂²	semidirect
37. #391	C₂²	semidirect
38. #391	C₂²	semidirect
41. #390	C₂²	semidirect
42. #390	C₂²	semidirect
43. #389	C₂²	semidirect
44. #389	C₂²	semidirect
45. #389	C₂²	semidirect
49. #386	C₂²	semidirect
53. #385	C₂²	semidirect
54. #384	C₂²	semidirect
55. #382	C₂²	semidirect
56. #381	C₂²	semidirect
57. #380	C₂²	semidirect
59. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
60. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
261. C₂×C₄	#123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2849	2
#2622	2
#2447	2
#2445	2
#2422	2
#2420	2
#2317	2
#2311	2
#2309	2
#2297	2
#2296	2