Subgroups — #351639

Order 512.

972 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 319 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1666	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9732	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#9694	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8805	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#492	—	2	1	no	—
11	C₂×#492	—	2	2	no	—
12	C₂×#492	—	2	1	no	—
13	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#460	—	2	2	no	—
16	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1988	C₂²	1	2	yes	—
22	#1982	—	2	2	no	—
23	#1982	C₂²	1	2	yes	—
24	#1948	—	2	2	no	—
25	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1803	—	2	2	no	—
28	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
33	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1666	—	2	16	no	—
35	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#127	—	2	1	no	—
45	C₂×#127	—	2	1	no	—
46	C₂×#127	—	2	2	no	—
47	C₂×#127	—	2	2	no	—
48	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#492	—	2	8	no	—
52	#492	—	2	8	no	—
53	#492	—	4	8	no	—
54	#492	—	4	4	no	—
55	#492	—	4	4	no	—
56	#475	—	2	8	no	—
57	#460	—	2	8	no	—
58	#460	—	4	8	no	—
59	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
60	C₈×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#103	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	#384	—	2	2	no	—
79	#384	—	2	2	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄³	—	2	1	no	—
85	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#340	—	2	4	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	1	no	—
89	#334	—	2	8	no	—
90	#332	—	2	8	no	—
91	#331	—	2	8	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
99	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
100	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
101	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
102	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
103	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
106	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
117	#127	—	2	4	no	—
118	#127	—	2	4	no	—
119	#127	—	4	4	no	—
120	#127	—	4	4	no	—
121	#127	—	4	2	no	—
122	#127	—	4	4	no	—
123	#127	—	4	2	no	—
124	#127	—	8	4	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄×Q₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
128	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	#106	—	4	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
152	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
153	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	#103	—	4	4	no	—
155	#102	—	4	4	no	—
156	#102	—	4	8	no	—
157	C₄×C₈	—	2	8	no	—
158	C₄×C₈	—	2	4	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	4	4	no	—
161	C₄×C₈	—	4	2	no	—
162	C₄×C₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
163	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
165	#95	—	2	2	no	—
166	#95	—	2	1	no	—
167	C₂⁴	—	4	2	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
174	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
175	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	8	4	no	—
186	C₂×D₄	—	8	4	no	—
187	C₂×D₄	—	8	4	no	—
188	C₂×D₄	—	8	4	no	—
189	C₂×D₄	—	8	4	no	—
190	C₂×D₄	—	8	4	no	—
191	C₂×D₄	—	8	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
201	SD₁₆	—	8	16	no	—
202	SD₁₆	—	8	8	no	—
203	SD₁₆	—	8	16	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	4	4	no	—
213	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
214	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
215	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
216	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
226	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
227	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
228	C₄²	—	2	4	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	8	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	4	2	no	—
233	C₄²	—	4	4	no	—
234	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
235	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
236	C₄²	#135	1	4	yes	—
237	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
238	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
240	C₂³	—	8	2	no	—
241	C₂³	—	8	2	no	—
242	C₂³	—	8	2	no	—
243	C₂³	—	8	4	no	—
244	C₂³	—	8	4	no	—
245	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
246	Q₈	—	2	2	no	—
247	Q₈	—	2	4	no	—
248	Q₈	—	8	4	no	—
249	Q₈	—	8	4	no	—
250	Q₈	#492	1	4	yes	complemented
251	D₄	—	8	2	no	—
252	D₄	—	8	2	no	—
253	D₄	—	8	4	no	—
254	D₄	—	8	4	no	—
255	D₄	—	8	4	no	—
256	D₄	—	16	4	no	—
257	D₄	—	16	8	no	—
258	D₄	—	16	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂×C₄	—	8	2	no	—
271	C₂×C₄	—	8	2	no	—
272	C₂×C₄	#460	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	#465	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	#465	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
285	C₈	—	2	4	no	—
286	C₈	—	4	4	no	—
287	C₈	—	8	2	no	—
288	C₈	—	8	2	no	—
289	C₈	#460	1	8	yes	complemented
290	C₂²	—	16	4	no	—
291	C₂²	—	16	2	no	—
292	C₂²	—	16	2	no	—
293	C₂²	—	16	2	no	—
294	C₂²	—	16	4	no	—
295	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	#3038	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂×#465	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
300	C₄	—	2	4	no	—
301	C₄	—	2	4	no	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	4	4	no	—
304	C₄	—	4	2	no	—
305	C₄	—	16	2	no	—
306	C₄	#1666	1	8	yes	complemented
307	C₄	C₂×#460	1	2	yes	—
308	C₄	#3038	1	2	yes	—
309	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
310	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#3167	1	2	yes	—
312	C₂	—	32	2	no	—
313	C₂	C₂×#1666	1	2	yes	—
314	C₂	#19266	1	2	yes	—
315	C₂	#33161	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#33170	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#33189	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#2867	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33196	C₂	semidirect
4. C₄×C₈×Q₈	C₂	semidirect
5. C₂×#1666	C₂	semidirect
6. #9732	C₂	semidirect
8. #9694	C₂	semidirect
9. #8805	C₂	semidirect
60. C₈×Q₈	D₄	semidirect
127. C₄×Q₈	SD₁₆	semidirect
162. C₄×C₈	SD₁₆	semidirect
250. Q₈	#492	semidirect
289. C₈	#460	semidirect
306. C₄	#1666	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33300	2
#33196	2
#33161	2
C₄×C₈×Q₈	2
C₂×#1666	2
#9732	2
#9695	2
#9694	2
#8805	2