Subgroups — #35167

Order 256.

1081 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 190 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#544	C₂	1	2	yes	maximal
2	#2857	C₂	1	4	yes	maximal
3	#2659	C₂	1	4	yes	maximal
4	#2552	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2551	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2550	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2316	C₂	1	2	yes	maximal
8	#2285	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#544	—	2	16	no	—
11	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#125	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#398	C₂²	1	16	yes	—
21	#395	C₂²	1	16	yes	—
22	#391	C₂²	1	8	yes	—
23	#389	C₂²	1	8	yes	—
24	#389	C₂²	1	8	yes	—
25	#389	C₂²	1	8	yes	—
26	#389	C₂²	1	8	yes	—
27	#384	C₂²	1	4	yes	—
28	#384	C₂²	1	2	yes	—
29	#384	C₂²	1	2	yes	—
30	#382	C₂²	1	4	yes	—
31	#380	C₂²	1	8	yes	—
32	#380	C₂²	1	4	yes	—
33	#380	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
46	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
47	#125	—	2	32	no	—
48	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
49	#117	—	2	16	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₄	Q₈	1	8	yes	complemented
52	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
66	C₂×C₄²	Q₈	1	8	yes	complemented
67	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	#95	C₂³	1	8	yes	—
73	#95	C₂³	1	8	yes	—
74	#95	C₂³	1	8	yes	—
75	#95	C₂³	1	16	yes	—
76	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
78	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
79	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
84	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
86	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
87	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
88	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
104	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
106	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
107	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
110	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
111	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
112	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
113	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
114	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
115	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
116	C₄²	—	2	16	no	—
117	C₄²	—	2	8	no	—
118	C₄²	—	4	4	no	—
119	C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
120	C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
121	C₂³	—	2	1	no	—
122	C₂³	—	2	1	no	—
123	C₂³	—	2	1	no	—
124	C₂³	—	2	1	no	—
125	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
129	Q₈	—	8	16	no	—
130	C₂×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄	—	4	8	no	—
148	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
149	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
153	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
154	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
155	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
156	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
158	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
159	C₂²	—	2	2	no	—
160	C₂²	—	2	2	no	—
161	C₂²	—	2	2	no	—
162	C₂²	—	2	2	no	—
163	C₂²	—	2	2	no	—
164	C₂²	—	2	2	no	—
165	C₂²	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
166	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
170	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
172	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
173	C₄	—	2	2	no	—
174	C₄	—	2	4	no	—
175	C₄	—	2	8	no	—
176	C₄	—	2	8	no	—
177	C₄	—	4	8	no	—
178	C₄	—	4	8	no	—
179	C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
180	C₄	#544	1	4	yes	complemented
181	C₂	—	2	4	no	—
182	C₂	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂	C₂×#544	1	1	yes	characteristic
184	C₂	#3458	1	1	yes	characteristic
185	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
186	C₂	#3497	1	1	yes	characteristic
187	C₂	#3501	1	1	yes	characteristic
188	C₂	#3502	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #2552	C₂	semidirect
5. #2551	C₂	semidirect
6. #2550	C₂	semidirect
51. C₂×C₄⋊C₄	Q₈	semidirect
66. C₂×C₄²	Q₈	semidirect
148. C₂×C₄	C₄⋊Q₈	semidirect
180. C₄	#544	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#544	2
#2857	2
#2659	2
#2552	2
#2551	2
#2550	2
#2316	2
#2285	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2