Subgroups — #351720

Order 512.

912 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33303	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#29824	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1689	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1665	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9704	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8805	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#495	—	2	1	no	—
13	C₂×#495	—	2	1	no	—
14	C₂×#495	—	2	1	no	—
15	C₂×#495	—	2	1	no	—
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#405	—	2	1	no	—
24	#2858	C₂²	1	2	yes	—
25	#2293	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2067	—	2	4	no	—
27	#2054	—	2	4	no	—
28	#1988	C₂²	1	2	yes	—
29	#1982	C₂²	1	2	yes	—
30	#1842	C₂²	1	2	yes	—
31	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1753	—	2	1	no	—
35	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
36	#1750	—	2	1	no	—
37	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1689	—	2	4	no	—
39	#1687	—	2	4	no	—
40	#1665	—	2	8	no	—
41	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
55	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#124	—	2	2	no	—
60	C₂×#124	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#117	—	2	1	no	—
63	#495	—	4	4	no	—
64	#495	—	4	4	no	—
65	#495	—	4	4	no	—
66	#495	—	4	4	no	—
67	#494	—	2	2	no	—
68	#494	—	2	2	no	—
69	#493	—	2	2	no	—
70	#493	—	2	2	no	—
71	#492	—	2	4	no	—
72	#492	—	2	4	no	—
73	#474	—	2	4	no	—
74	#474	—	2	4	no	—
75	#459	—	2	4	no	—
76	#459	—	2	4	no	—
77	#436	—	2	2	no	—
78	#436	D₄	1	4	yes	—
79	C₈×D₄	—	2	2	no	—
80	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×#107	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
92	#405	—	4	4	no	—
93	C₂×#97	—	2	1	no	—
94	C₂×#97	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#390	—	2	4	no	—
103	#390	—	2	4	no	—
104	#390	D₄	1	2	yes	—
105	#389	D₄	1	2	yes	—
106	#388	—	2	2	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
109	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#340	—	2	4	no	—
111	#336	—	2	1	no	—
112	#336	—	2	1	no	—
113	#336	—	2	1	no	—
114	#334	—	2	4	no	—
115	#334	—	2	2	no	—
116	#334	—	2	2	no	—
117	#332	—	2	4	no	—
118	#332	—	2	4	no	—
119	#331	—	2	4	no	—
120	#331	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×D₈	—	4	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂×D₈	—	4	4	no	—
142	C₂×D₈	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	—	4	2	no	—
144	C₂×D₈	—	4	2	no	—
145	C₂×D₈	—	4	2	no	—
146	C₂×D₈	—	8	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	2	2	no	—
169	#124	—	4	4	no	—
170	#124	—	4	4	no	—
171	#124	—	4	4	no	—
172	#124	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	2	1	no	—
174	C₄×D₄	—	2	1	no	—
175	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	#117	—	4	2	no	—
178	#117	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	#107	—	4	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
202	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
203	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	#102	—	4	4	no	—
206	#102	—	4	4	no	—
207	#102	—	8	4	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
210	#97	—	4	2	no	—
211	#97	—	4	2	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	C₄×C₈	—	2	2	no	—
215	C₄×C₈	—	4	2	no	—
216	C₄×C₈	D₈	1	4	yes	complemented
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
220	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
221	#95	—	2	2	no	—
222	#95	—	2	1	no	—
223	C₂⁴	—	2	1	no	—
224	C₂⁴	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	1	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	Q₁₆	—	8	4	no	—
262	Q₁₆	—	8	4	no	—
263	SD₁₆	—	8	8	no	—
264	SD₁₆	—	8	8	no	—
265	D₈	—	8	4	no	—
266	D₈	—	8	8	no	—
267	D₈	—	8	4	no	—
268	M₁₆	—	4	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	8	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
292	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
306	C₄²	—	2	1	no	—
307	C₄²	—	2	1	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	—	4	1	no	—
311	C₄²	—	4	1	no	—
312	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
313	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
314	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	4	1	no	—
320	C₂³	—	4	1	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	—	8	2	no	—
324	C₂³	—	8	2	no	—
325	C₂³	—	8	2	no	—
326	C₂³	—	8	4	no	—
327	C₂³	—	8	4	no	—
328	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
329	Q₈	—	8	2	no	—
330	Q₈	—	8	2	no	—
331	Q₈	—	8	2	no	—
332	Q₈	—	8	2	no	—
333	D₄	—	2	4	no	—
334	D₄	—	4	2	no	—
335	D₄	—	8	2	no	—
336	D₄	—	8	2	no	—
337	D₄	—	8	4	no	—
338	D₄	—	8	2	no	—
339	D₄	—	8	2	no	—
340	D₄	—	8	2	no	—
341	D₄	—	8	2	no	—
342	D₄	—	16	2	no	—
343	D₄	—	16	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	1	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
375	C₈	—	2	2	no	—
376	C₈	—	2	2	no	—
377	C₈	—	4	2	no	—
378	C₈	—	4	2	no	—
379	C₈	—	8	2	no	—
380	C₈	—	8	2	no	—
381	C₈	#459	1	4	yes	—
382	C₈	#459	1	4	yes	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	—	4	2	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	—	8	2	no	—
388	C₂²	—	16	2	no	—
389	C₂²	—	16	4	no	—
390	C₂²	—	16	2	no	—
391	C₂²	—	16	2	no	—
392	C₂²	—	16	4	no	—
393	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3038	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3060	1	2	yes	—
397	C₂²	#3067	1	2	yes	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	2	4	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	8	2	no	—
404	C₄	—	16	2	no	—
405	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
406	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3038	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3038	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#3154	1	2	yes	—
410	C₄	#3173	1	2	yes	—
411	C₂	—	8	2	no	—
412	C₂	—	32	2	no	—
413	C₂	#19189	1	2	yes	—
414	C₂	#19355	1	2	yes	—
415	C₂	#33160	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#33181	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#33192	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1687	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33303	C₂	semidirect
2. #29824	C₂	semidirect
3. #20485	C₂	semidirect
4. C₂×#1689	C₂	semidirect
6. C₂×#1665	C₂	semidirect
7. #9743	C₂	semidirect
8. #9742	C₂	semidirect
9. #9732	C₂	semidirect
10. #9704	C₂	semidirect
11. #8805	C₂	semidirect
216. C₄×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33303	2
#29824	2
#20485	2
C₂×#1689	2
C₂×#1687	2
C₂×#1665	2
#9743	2
#9742	2
#9732	2
#9704	2
#8805	2