Subgroups — #351760

Order 512.

838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 399 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#29795	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1693	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1681	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9740	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9738	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9710	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#405	—	2	1	no	—
20	#2858	C₂²	1	2	yes	—
21	#2293	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2042	—	2	4	no	—
23	#2012	—	2	4	no	—
24	#1982	C₂²	1	2	yes	—
25	#1981	C₂²	1	2	yes	—
26	#1970	—	2	1	no	—
27	#1970	—	2	1	no	—
28	#1970	—	2	1	no	—
29	#1970	—	2	1	no	—
30	#1831	C₂²	1	2	yes	—
31	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1753	—	2	1	no	—
35	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
36	#1750	—	2	1	no	—
37	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1693	—	2	4	no	—
39	#1687	—	2	4	no	—
40	#1681	—	2	8	no	—
41	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#124	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	—	2	1	no	—
59	#500	—	2	2	no	—
60	#500	—	2	2	no	—
61	#493	—	2	2	no	—
62	#493	—	2	2	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#461	—	2	4	no	—
66	#461	—	2	4	no	—
67	#459	—	2	4	no	—
68	#459	—	2	4	no	—
69	#436	—	2	2	no	—
70	#436	D₄	1	4	yes	—
71	C₈×D₄	—	2	2	no	—
72	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×#107	—	2	1	no	—
74	C₂×#107	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#103	—	2	2	no	—
80	C₂×#103	—	2	4	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	—	2	2	no	—
84	C₂×#102	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
87	#405	—	4	4	no	—
88	C₂×#97	—	2	1	no	—
89	C₂×#97	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#390	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#390	—	2	4	no	—
100	#390	D₄	1	2	yes	—
101	#389	D₄	1	2	yes	—
102	#388	—	2	2	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
105	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#336	—	2	1	no	—
107	#336	—	2	1	no	—
108	#336	—	2	4	no	—
109	#336	—	2	1	no	—
110	#335	—	2	4	no	—
111	#334	—	2	2	no	—
112	#334	—	2	2	no	—
113	#332	—	2	4	no	—
114	#332	—	2	4	no	—
115	#331	—	2	4	no	—
116	#331	—	2	4	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
125	C₂×D₈	—	4	2	no	—
126	C₂×D₈	—	4	2	no	—
127	C₂×D₈	—	4	4	no	—
128	C₂×D₈	—	4	2	no	—
129	C₂×D₈	—	4	2	no	—
130	C₂×D₈	—	4	2	no	—
131	C₂×D₈	—	4	2	no	—
132	C₂×D₈	—	8	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#124	—	8	4	no	—
156	#124	—	8	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	1	no	—
158	C₄×D₄	—	2	1	no	—
159	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	#117	—	4	2	no	—
162	#117	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	#107	—	4	2	no	—
180	#107	—	4	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	#103	—	4	4	no	—
190	#103	—	8	4	no	—
191	#102	—	4	4	no	—
192	#102	—	4	4	no	—
193	#102	—	4	4	no	—
194	#102	—	8	4	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
197	#97	—	4	2	no	—
198	#97	—	4	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	4	1	no	—
202	C₄×C₈	—	4	1	no	—
203	C₄×C₈	—	4	2	no	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
208	#95	—	2	2	no	—
209	#95	—	2	1	no	—
210	C₂⁴	—	2	1	no	—
211	C₂⁴	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	1	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	8	4	no	—
231	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	SD₁₆	—	8	8	no	—
247	D₈	—	8	4	no	—
248	D₈	—	8	8	no	—
249	D₈	—	8	4	no	—
250	M₁₆	—	4	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	8	no	—
260	C₂×C₈	—	4	1	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	1	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
288	C₄²	—	2	1	no	—
289	C₄²	—	2	1	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	1	no	—
295	C₄²	—	4	1	no	—
296	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	4	1	no	—
302	C₂³	—	4	1	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	4	no	—
310	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	8	2	no	—
312	Q₈	—	8	2	no	—
313	Q₈	—	8	4	no	—
314	D₄	—	2	4	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	16	2	no	—
324	D₄	—	16	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	4	no	—
344	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
355	C₈	—	2	2	no	—
356	C₈	—	2	2	no	—
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	4	2	no	—
359	C₈	—	4	2	no	—
360	C₈	—	8	2	no	—
361	C₈	—	8	2	no	—
362	C₈	#463	1	4	yes	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	16	4	no	—
369	C₂²	—	16	4	no	—
370	C₂²	—	16	2	no	—
371	C₂²	—	16	2	no	—
372	C₂²	—	16	2	no	—
373	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#3035	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3036	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#3058	1	2	yes	—
377	C₂²	#3067	1	2	yes	—
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	8	2	no	—
384	C₄	—	16	2	no	—
385	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#3035	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#3036	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#3040	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#3155	1	2	yes	—
390	C₄	#3176	1	2	yes	—
391	C₂	—	8	2	no	—
392	C₂	—	32	2	no	—
393	C₂	#19225	1	2	yes	—
394	C₂	#19335	1	2	yes	—
395	C₂	#33164	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#33179	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#33192	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1687	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33241	C₂	semidirect
2. #29795	C₂	semidirect
3. #20485	C₂	semidirect
4. C₂×#1693	C₂	semidirect
6. C₂×#1681	C₂	semidirect
7. #9743	C₂	semidirect
8. #9740	C₂	semidirect
9. #9738	C₂	semidirect
10. #9710	C₂	semidirect
11. #8807	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33241	2
#29795	2
#20485	2
C₂×#1693	2
C₂×#1687	2
C₂×#1681	2
#9743	2
#9740	2
#9738	2
#9710	2
#8807	2