Subgroups — #35198

Order 256.

1200 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#542	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2860	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2858	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2662	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2551	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#2538	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2461	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2452	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2445	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2426	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#542	—	2	16	no	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
40	#396	C₂²	1	4	yes	—
41	#396	C₂²	1	4	yes	—
42	#395	C₂²	1	4	yes	—
43	#394	C₂²	1	4	yes	—
44	#394	C₂²	1	4	yes	—
45	#394	C₂²	1	4	yes	—
46	#393	C₂²	1	4	yes	—
47	#392	C₂²	1	4	yes	—
48	#390	C₂²	1	2	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#390	C₂²	1	4	yes	—
52	#390	C₂²	1	2	yes	—
53	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#390	C₂²	1	4	yes	—
55	#390	C₂²	1	2	yes	—
56	#390	C₂²	1	2	yes	—
57	#390	C₂²	1	2	yes	—
58	#390	C₂²	1	2	yes	—
59	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#389	C₂²	1	2	yes	—
61	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	#389	C₂²	1	2	yes	—
63	#389	C₂²	1	2	yes	—
64	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#388	C₂²	1	4	yes	—
66	#388	C₂²	1	4	yes	—
67	#388	C₂²	1	4	yes	—
68	#388	C₂²	1	2	yes	—
69	#388	C₂²	1	2	yes	—
70	#386	C₂²	1	4	yes	—
71	#385	C₂²	1	4	yes	—
72	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	#380	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
95	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
96	#127	—	2	4	no	—
97	#127	—	4	4	no	—
98	#126	—	2	16	no	—
99	#124	—	2	8	no	—
100	#124	—	2	16	no	—
101	#124	—	4	8	no	—
102	#123	—	2	16	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
105	#121	—	2	8	no	—
106	#121	—	2	8	no	—
107	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
110	C₄×D₄	—	2	8	no	—
111	C₄×D₄	—	2	4	no	—
112	C₄×D₄	—	4	4	no	—
113	C₄×D₄	—	4	4	no	—
114	#117	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
233	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	4	1	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
262	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
263	C₄²	#41	1	4	yes	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	2	8	no	—
280	Q₈	—	8	8	no	—
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	4	8	no	—
285	D₄	—	8	8	no	—
286	D₄	—	8	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	1	no	—
368	C₄	#532	1	4	yes	—
369	C₄	#542	1	4	yes	complemented
370	C₂	—	8	2	no	—
371	C₂	—	8	4	no	—
372	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
373	C₂	C₂×#542	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#3460	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3497	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#3514	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#3522	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2541	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#542	C₂	semidirect
2. #2860	C₂	semidirect
3. #2858	C₂	semidirect
4. #2662	C₂	semidirect
5. #2551	C₂	semidirect
6. #2548	C₂	semidirect
8. #2538	C₂	semidirect
9. #2491	C₂	semidirect
10. #2461	C₂	semidirect
11. #2452	C₂	semidirect
12. #2445	C₂	semidirect
13. #2426	C₂	semidirect
14. #2324	C₂	semidirect
15. C₄×#127	C₂	semidirect
16. #2293	C₂	semidirect
17. C₄²×Q₈	C₂	semidirect
109. C₄×Q₈	D₄	semidirect
369. C₄	#542	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#542	2
#2860	2
#2858	2
#2662	2
#2551	2
#2548	2
#2541	2
#2538	2
#2491	2
#2461	2
#2452	2
#2445	2
#2426	2
#2324	2
C₄×#127	2
#2293	2
C₄²×Q₈	2