Subgroups — #352020

Order 512.

992 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33212	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33175	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#33170	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#29843	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9836	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9820	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#469	—	2	2	no	—
17	C₂×#465	—	2	4	no	—
18	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2857	C₂²	1	2	yes	—
22	#2856	C₂²	1	2	yes	—
23	#2065	—	2	4	no	—
24	#2034	—	2	4	no	—
25	#1990	C₂²	1	2	yes	—
26	#1990	C₂²	1	2	yes	—
27	#1972	—	2	2	no	—
28	#1968	—	2	4	no	—
29	#1957	C₂²	1	2	yes	—
30	#1957	C₂²	1	2	yes	—
31	#1957	C₂²	1	2	yes	—
32	#1956	C₂²	1	2	yes	—
33	#1944	—	2	2	no	—
34	#1844	C₂²	1	2	yes	—
35	#1844	C₂²	1	2	yes	—
36	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1809	—	2	2	no	—
39	#1706	—	2	4	no	—
40	C₈×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#500	—	2	2	no	—
57	#500	—	2	2	no	—
58	#493	—	2	2	no	—
59	#493	—	2	2	no	—
60	#492	—	2	4	no	—
61	#492	—	2	4	no	—
62	#486	—	2	4	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#469	—	4	8	no	—
65	#465	—	4	16	no	—
66	#431	—	2	2	no	—
67	#431	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#106	—	2	2	no	—
70	C₂×#106	—	2	4	no	—
71	C₂×#106	—	2	2	no	—
72	C₂×#106	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×#103	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₂×#102	—	2	4	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#391	—	2	2	no	—
93	#390	—	2	2	no	—
94	#390	—	2	2	no	—
95	#390	—	2	2	no	—
96	#389	—	2	2	no	—
97	#389	—	2	2	no	—
98	#384	C₂³	1	2	yes	—
99	#384	C₂³	1	2	yes	—
100	#380	—	2	2	no	—
101	#380	—	2	2	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#340	—	2	4	no	—
104	#322	—	2	2	no	—
105	#322	—	2	2	no	—
106	C₈²	—	2	2	no	—
107	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	4	4	no	—
121	C₂×D₈	—	4	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	SD₁₆	1	8	yes	complemented
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	2	no	—
139	#127	—	2	2	no	—
140	#127	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
142	#121	—	4	8	no	—
143	#121	—	4	8	no	—
144	#121	—	8	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	#107	—	4	4	no	—
167	#106	—	4	4	no	—
168	#106	—	4	4	no	—
169	#106	—	4	8	no	—
170	#106	—	8	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
172	#103	—	4	8	no	—
173	#102	—	4	8	no	—
174	#102	—	4	8	no	—
175	#102	—	4	8	no	—
176	#102	—	8	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
178	#97	—	2	4	no	—
179	C₄×C₈	—	2	4	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
192	#95	—	4	2	no	—
193	#95	—	4	2	no	—
194	C₂⁴	—	4	2	no	—
195	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
196	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	8	4	no	—
213	C₂×D₄	—	8	4	no	—
214	C₂×D₄	—	8	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	SD₁₆	—	8	16	no	—
235	D₈	—	8	8	no	—
236	M₁₆	—	2	16	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	8	no	—
245	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
267	C₄²	—	2	1	no	—
268	C₄²	—	2	1	no	—
269	C₄²	—	2	1	no	—
270	C₄²	—	2	1	no	—
271	C₄²	—	2	1	no	—
272	C₄²	—	2	1	no	—
273	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	8	2	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	2	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	#492	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	8	4	no	—
291	Q₈	—	8	4	no	—
292	D₄	—	8	4	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	16	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
331	C₈	—	2	4	no	—
332	C₈	—	2	4	no	—
333	C₈	—	4	2	no	—
334	C₈	—	4	2	no	—
335	C₈	#465	1	8	yes	complemented
336	C₈	#469	1	8	yes	complemented
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	4	1	no	—
340	C₂²	—	4	1	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	—	16	2	no	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	—	16	2	no	—
348	C₂²	—	16	2	no	—
349	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#3151	1	2	yes	—
353	C₂²	#3154	1	2	yes	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	4	1	no	—
356	C₄	—	4	1	no	—
357	C₄	—	16	2	no	—
358	C₄	—	16	2	no	—
359	C₄	—	16	2	no	—
360	C₄	C₂×#465	1	2	yes	—
361	C₄	C₂×#469	1	2	yes	—
362	C₄	#3060	1	2	yes	—
363	C₄	#3167	1	2	yes	—
364	C₄	#3173	1	2	yes	—
365	C₄	#3184	1	2	yes	—
366	C₂	—	4	2	no	—
367	C₂	—	32	2	no	—
368	C₂	#19621	1	2	yes	—
369	C₂	#19641	1	2	yes	—
370	C₂	#33170	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#33175	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#33181	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33175	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33212	C₂	semidirect
3. #33170	C₂	semidirect
4. #29843	C₂	semidirect
5. C₂×#1706	C₂	semidirect
6. C₂×C₈×M₁₆	C₂	semidirect
7. #9837	C₂	semidirect
8. #9836	C₂	semidirect
9. #9827	C₂	semidirect
10. #9820	C₂	semidirect
11. #8813	C₂	semidirect
107. C₈²	D₄	semidirect
124. C₂×M₁₆	SD₁₆	semidirect
335. C₈	#465	semidirect
336. C₈	#469	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33212	2
#33175	2
#33170	2
#29843	2
C₂×#1706	2
C₂×C₈×M₁₆	2
#9837	2
#9836	2
#9827	2
#9820	2
#8813	2