Subgroups — #352031

Order 512.

992 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33174	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#29842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9823	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#468	—	2	4	no	—
17	C₂×#466	—	2	2	no	—
18	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2857	C₂²	1	2	yes	—
22	#2856	C₂²	1	2	yes	—
23	#2067	—	2	4	no	—
24	#2033	—	2	4	no	—
25	#1990	C₂²	1	2	yes	—
26	#1990	C₂²	1	2	yes	—
27	#1973	—	2	4	no	—
28	#1970	—	2	2	no	—
29	#1957	C₂²	1	2	yes	—
30	#1957	C₂²	1	2	yes	—
31	#1957	C₂²	1	2	yes	—
32	#1956	C₂²	1	2	yes	—
33	#1942	—	2	2	no	—
34	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1845	C₂²	1	2	yes	—
37	#1845	C₂²	1	2	yes	—
38	#1808	—	2	2	no	—
39	#1706	—	2	4	no	—
40	C₈×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#500	—	2	2	no	—
57	#500	—	2	2	no	—
58	#493	—	2	2	no	—
59	#493	—	2	2	no	—
60	#492	—	2	4	no	—
61	#492	—	2	4	no	—
62	#486	—	2	4	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#468	—	4	16	no	—
65	#466	—	4	8	no	—
66	#431	—	2	2	no	—
67	#431	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#107	—	2	2	no	—
70	C₂×#107	—	2	2	no	—
71	C₂×#107	—	2	4	no	—
72	C₂×#107	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×#103	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₂×#102	—	2	4	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#391	—	2	2	no	—
93	#390	—	2	2	no	—
94	#390	—	2	2	no	—
95	#390	—	2	2	no	—
96	#389	—	2	2	no	—
97	#389	—	2	2	no	—
98	#384	C₂³	1	2	yes	—
99	#384	C₂³	1	2	yes	—
100	#380	—	2	2	no	—
101	#380	—	2	2	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#340	—	2	4	no	—
104	#322	—	2	2	no	—
105	#322	—	2	2	no	—
106	C₈²	—	2	2	no	—
107	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	4	4	no	—
121	C₂×D₈	—	4	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	D₈	1	8	yes	complemented
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	2	no	—
139	#127	—	2	2	no	—
140	#127	—	2	2	no	—
141	#127	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
143	#121	—	4	8	no	—
144	#121	—	4	8	no	—
145	#121	—	8	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	#107	—	4	4	no	—
168	#107	—	4	8	no	—
169	#107	—	4	4	no	—
170	#107	—	4	4	no	—
171	#107	—	8	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
173	#103	—	4	8	no	—
174	#102	—	4	8	no	—
175	#102	—	4	8	no	—
176	#102	—	4	8	no	—
177	#102	—	8	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
179	#97	—	2	4	no	—
180	C₄×C₈	—	2	4	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
192	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
193	#95	—	4	2	no	—
194	#95	—	4	2	no	—
195	C₂⁴	—	4	2	no	—
196	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
197	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	8	4	no	—
214	C₂×D₄	—	8	4	no	—
215	C₂×D₄	—	8	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	SD₁₆	—	8	16	no	—
238	D₈	—	8	8	no	—
239	M₁₆	—	2	16	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	8	no	—
251	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
274	C₄²	—	2	1	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	1	no	—
277	C₄²	—	2	1	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	—	8	2	no	—
297	C₂³	#493	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	8	4	no	—
300	Q₈	—	8	4	no	—
301	D₄	—	8	4	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	D₄	—	8	4	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	8	4	no	—
306	D₄	—	8	4	no	—
307	D₄	—	16	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
344	C₈	—	2	4	no	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	4	2	no	—
347	C₈	—	4	2	no	—
348	C₈	#466	1	8	yes	complemented
349	C₈	#468	1	8	yes	complemented
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	4	1	no	—
354	C₂²	—	4	1	no	—
355	C₂²	—	4	1	no	—
356	C₂²	—	4	1	no	—
357	C₂²	—	16	2	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	—	16	2	no	—
362	C₂²	—	16	2	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	4	1	no	—
373	C₄	—	4	1	no	—
374	C₄	—	16	2	no	—
375	C₄	—	16	2	no	—
376	C₄	—	16	2	no	—
377	C₄	C₂×#466	1	2	yes	—
378	C₄	C₂×#468	1	2	yes	—
379	C₄	#3061	1	2	yes	—
380	C₄	#3169	1	2	yes	—
381	C₄	#3175	1	2	yes	—
382	C₄	#3182	1	2	yes	—
383	C₂	—	4	2	no	—
384	C₂	—	32	2	no	—
385	C₂	#19629	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#19630	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#19645	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#19646	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#33171	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#33174	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#33182	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33209	C₂	semidirect
2. #33174	C₂	semidirect
4. #29842	C₂	semidirect
5. C₂×#1706	C₂	semidirect
6. C₂×C₈×M₁₆	C₂	semidirect
7. #9842	C₂	semidirect
8. #9830	C₂	semidirect
9. #9824	C₂	semidirect
10. #9823	C₂	semidirect
11. #8818	C₂	semidirect
107. C₈²	D₄	semidirect
124. C₂×M₁₆	D₈	semidirect
348. C₈	#466	semidirect
349. C₈	#468	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33209	2
#33174	2
#33171	2
#29842	2
C₂×#1706	2
C₂×C₈×M₁₆	2
#9842	2
#9830	2
#9824	2
#9823	2
#8818	2