Subgroups — #352048

Order 512.

920 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29843	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#29807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9829	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9823	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#466	—	2	2	no	—
17	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2857	C₂²	1	2	yes	—
21	#2856	C₂²	1	2	yes	—
22	#2065	—	2	4	no	—
23	#2055	—	2	4	no	—
24	#2034	—	2	4	no	—
25	#2000	—	2	4	no	—
26	#1990	C₂²	1	2	yes	—
27	#1990	C₂²	1	2	yes	—
28	#1970	—	2	2	no	—
29	#1957	C₂²	1	2	yes	—
30	#1957	C₂²	1	2	yes	—
31	#1957	C₂²	1	2	yes	—
32	#1956	C₂²	1	2	yes	—
33	#1942	—	2	2	no	—
34	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1844	C₂²	1	2	yes	—
37	#1834	C₂²	1	2	yes	—
38	#1808	—	2	2	no	—
39	#1706	—	2	4	no	—
40	#1450	—	2	4	no	—
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#500	—	2	2	no	—
56	#500	—	2	2	no	—
57	#493	—	2	2	no	—
58	#493	—	2	2	no	—
59	#492	—	2	4	no	—
60	#492	—	2	4	no	—
61	#486	—	2	4	no	—
62	#486	—	2	4	no	—
63	#466	—	4	8	no	—
64	#431	—	2	2	no	—
65	#431	—	2	2	no	—
66	#431	—	2	2	no	—
67	#431	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#107	—	2	2	no	—
70	C₂×#107	—	2	2	no	—
71	C₂×#106	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×#103	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₂×#102	—	2	4	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#391	—	2	2	no	—
91	#390	—	2	2	no	—
92	#390	—	2	2	no	—
93	#390	—	2	2	no	—
94	#389	—	2	2	no	—
95	#389	—	2	2	no	—
96	#384	C₂³	1	2	yes	—
97	#384	C₂³	1	2	yes	—
98	#380	—	2	2	no	—
99	#380	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#322	—	2	2	no	—
104	#322	—	2	2	no	—
105	C₈²	—	2	2	no	—
106	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
118	C₂×D₈	—	4	4	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	#127	—	2	2	no	—
135	#127	—	2	2	no	—
136	#127	—	2	2	no	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
139	#121	—	4	8	no	—
140	#121	—	8	4	no	—
141	#121	—	8	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	#107	—	4	4	no	—
164	#107	—	4	4	no	—
165	#107	—	4	4	no	—
166	#106	—	8	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
169	#103	—	8	4	no	—
170	#102	—	4	8	no	—
171	#102	—	4	8	no	—
172	#102	—	8	4	no	—
173	#102	—	8	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	4	no	—
177	C₄×C₈	—	2	1	no	—
178	C₄×C₈	—	2	1	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
187	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
188	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
189	#95	—	4	2	no	—
190	#95	—	4	2	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
193	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	8	4	no	—
210	C₂×D₄	—	8	4	no	—
211	C₂×D₄	—	8	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	SD₁₆	—	8	16	no	—
234	D₈	—	8	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	16	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
269	C₄²	—	2	1	no	—
270	C₄²	—	2	1	no	—
271	C₄²	—	2	1	no	—
272	C₄²	—	2	1	no	—
273	C₄²	—	2	1	no	—
274	C₄²	—	2	1	no	—
275	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	#492	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	8	4	no	—
295	Q₈	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	D₄	—	8	4	no	—
302	D₄	—	16	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
339	C₈	—	2	4	no	—
340	C₈	—	2	4	no	—
341	C₈	—	2	4	no	—
342	C₈	—	4	2	no	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	#465	1	8	yes	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	1	no	—
350	C₂²	—	4	1	no	—
351	C₂²	—	4	1	no	—
352	C₂²	—	16	2	no	—
353	C₂²	—	16	2	no	—
354	C₂²	—	16	2	no	—
355	C₂²	—	16	2	no	—
356	C₂²	—	16	2	no	—
357	C₂²	—	16	2	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	4	1	no	—
368	C₄	—	4	1	no	—
369	C₄	—	16	2	no	—
370	C₄	—	16	2	no	—
371	C₄	—	16	2	no	—
372	C₄	C₂×#465	1	2	yes	—
373	C₄	#3058	1	2	yes	—
374	C₄	#3061	1	2	yes	—
375	C₄	#3167	1	2	yes	—
376	C₄	#3175	1	2	yes	—
377	C₄	#3176	1	2	yes	—
378	C₂	—	4	2	no	—
379	C₂	—	32	2	no	—
380	C₂	#19652	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#19655	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#19666	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#19667	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#33170	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#33179	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#33182	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33209	C₂	semidirect
3. #29843	C₂	semidirect
4. #29807	C₂	semidirect
5. C₂×#1706	C₂	semidirect
6. C₂×#1450	C₂	semidirect
7. #9829	C₂	semidirect
8. #9827	C₂	semidirect
9. #9824	C₂	semidirect
10. #9823	C₂	semidirect
11. #8814	C₂	semidirect
106. C₈²	D₄	semidirect
123. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33209	2
#33171	2
#29843	2
#29807	2
C₂×#1706	2
C₂×#1450	2
#9829	2
#9827	2
#9824	2
#9823	2
#8814	2