Subgroups — #352103

Order 512.

1026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#33170	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33042	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1715	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9829	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8819	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#466	—	2	2	no	—
17	C₂×#465	—	2	4	no	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2857	C₂²	1	2	yes	—
21	#2856	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2856	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1990	C₂²	1	2	yes	—
24	#1990	C₂²	1	2	yes	—
25	#1970	—	2	2	no	—
26	#1968	—	2	4	no	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1957	C₂²	1	2	yes	—
31	#1956	C₂²	1	2	yes	—
32	#1941	—	2	2	no	—
33	#1934	—	2	4	no	—
34	#1893	—	2	4	no	—
35	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1844	C₂²	1	2	yes	—
37	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1834	C₂²	1	2	yes	—
39	#1807	—	2	2	no	—
40	#1715	—	2	4	no	—
41	C₂×#322	—	2	4	no	—
42	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
48	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂×#121	—	2	1	no	—
56	C₂×#121	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#498	—	2	2	no	—
59	#498	—	2	2	no	—
60	#493	—	2	2	no	—
61	#493	—	2	2	no	—
62	#492	—	2	4	no	—
63	#492	—	2	4	no	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#486	—	2	4	no	—
66	#466	—	4	8	no	—
67	#465	—	4	16	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#106	—	2	2	no	—
70	C₂×#106	—	2	2	no	—
71	C₂×#106	—	2	4	no	—
72	C₂×#103	—	2	4	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#391	—	2	2	no	—
89	#390	—	2	2	no	—
90	#390	—	2	2	no	—
91	#390	—	2	1	no	—
92	#390	—	2	1	no	—
93	#389	—	2	2	no	—
94	#389	—	2	2	no	—
95	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#384	C₂³	1	2	yes	—
98	#380	—	2	2	no	—
99	#380	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#322	—	2	4	no	—
104	#322	—	2	2	no	—
105	#322	D₄	1	4	yes	complemented
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
118	C₂×D₈	—	4	4	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	#127	—	2	1	no	—
136	#127	—	2	1	no	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	2	no	—
139	#127	—	2	1	no	—
140	#127	—	2	1	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
142	#121	—	4	4	no	—
143	#121	—	4	4	no	—
144	#121	—	4	8	no	—
145	#121	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	#107	—	4	4	no	—
168	#106	—	4	8	no	—
169	#106	—	4	4	no	—
170	#106	—	4	4	no	—
171	#103	—	4	8	no	—
172	#102	—	4	8	no	—
173	#102	—	4	8	no	—
174	#102	—	4	8	no	—
175	#102	—	4	4	no	—
176	#102	—	4	4	no	—
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	2	8	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
186	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
187	#95	—	4	2	no	—
188	#95	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	—	4	1	no	—
190	C₂⁴	—	4	1	no	—
191	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	1	no	—
198	C₂×D₄	—	4	1	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	1	no	—
201	C₂×D₄	—	4	1	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	8	2	no	—
213	C₂×D₄	—	8	2	no	—
214	C₂×D₄	—	8	4	no	—
215	C₂×D₄	—	8	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	SD₁₆	—	8	16	no	—
233	D₈	—	8	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	16	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	16	no	—
243	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	1	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	8	1	no	—
276	C₂³	—	8	1	no	—
277	C₂³	—	8	1	no	—
278	C₂³	—	8	1	no	—
279	C₂³	—	8	1	no	—
280	C₂³	—	8	1	no	—
281	C₂³	—	8	2	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	2	no	—
285	C₂³	#492	1	2	yes	—
286	C₂³	#496	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	8	4	no	—
289	Q₈	—	8	4	no	—
290	D₄	—	8	2	no	—
291	D₄	—	8	2	no	—
292	D₄	—	8	4	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	2	no	—
295	D₄	—	8	2	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	16	4	no	—
299	D₄	—	16	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	1	no	—
310	C₂×C₄	—	8	1	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	2	8	no	—
330	C₈	—	4	4	no	—
331	C₈	#465	1	8	yes	complemented
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	16	1	no	—
337	C₂²	—	16	1	no	—
338	C₂²	—	16	1	no	—
339	C₂²	—	16	1	no	—
340	C₂²	—	16	1	no	—
341	C₂²	—	16	1	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	—	16	2	no	—
346	C₂²	#1715	1	4	yes	complemented
347	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#496	1	2	yes	—
351	C₂²	#3150	1	2	yes	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	16	1	no	—
355	C₄	—	16	1	no	—
356	C₄	—	16	2	no	—
357	C₄	—	16	2	no	—
358	C₄	C₂×#465	1	2	yes	—
359	C₄	#3055	1	4	yes	—
360	C₄	#3167	1	2	yes	—
361	C₄	#3180	1	4	yes	—
362	C₂	—	2	4	no	—
363	C₂	—	32	1	no	—
364	C₂	—	32	1	no	—
365	C₂	C₂×#1715	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#19608	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#19619	1	2	yes	—
368	C₂	#33170	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#33183	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33207	C₂	semidirect
3. #33170	C₂	semidirect
4. #33042	C₂	semidirect
5. C₂×#1715	C₂	semidirect
6. C₂²×#322	C₂	semidirect
7. #9841	C₂	semidirect
8. #9837	C₂	semidirect
9. #9829	C₂	semidirect
10. #9827	C₂	semidirect
11. #8819	C₂	semidirect
105. #322	D₄	semidirect
126. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect
331. C₈	#465	semidirect
346. C₂²	#1715	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33207	2
#33171	2
#33170	2
#33042	2
C₂×#1715	2
C₂²×#322	2
#9841	2
#9837	2
#9829	2
#9827	2
#8819	2