Subgroups — #352104

Order 512.

868 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 335 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33207	C₂	1	2	yes	maximal
3	#33172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33043	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1716	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9828	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9826	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8819	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#467	—	2	2	no	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2857	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2857	C₂²	1	2	yes	—
21	#2857	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1990	C₂²	1	2	yes	—
23	#1990	C₂²	1	2	yes	—
24	#1990	C₂²	1	2	yes	—
25	#1990	C₂²	1	2	yes	—
26	#1969	—	2	2	no	—
27	#1956	C₂²	1	2	yes	—
28	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1941	—	2	4	no	—
31	#1941	—	2	2	no	—
32	#1933	—	2	4	no	—
33	#1892	—	2	4	no	—
34	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1844	C₂²	1	2	yes	—
36	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1834	C₂²	1	2	yes	—
38	#1807	—	2	4	no	—
39	#1807	—	2	2	no	—
40	#1716	—	2	4	no	—
41	C₂×#322	—	2	4	no	—
42	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#498	—	2	4	no	—
56	#498	—	2	2	no	—
57	#498	—	2	4	no	—
58	#498	—	2	2	no	—
59	#494	—	2	2	no	—
60	#494	—	2	2	no	—
61	#487	—	2	4	no	—
62	#487	—	2	4	no	—
63	#467	—	4	8	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#106	—	2	4	no	—
66	C₂×#106	—	2	2	no	—
67	C₂×#106	—	2	4	no	—
68	C₂×#106	—	2	2	no	—
69	C₂×#103	—	2	4	no	—
70	C₂×#103	—	2	4	no	—
71	C₂×#103	—	2	2	no	—
72	C₂×#103	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#391	—	2	2	no	—
84	#391	—	2	1	no	—
85	#391	—	2	1	no	—
86	#389	—	2	2	no	—
87	#389	—	2	2	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#389	—	2	2	no	—
90	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#384	C₂³	1	2	yes	—
92	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#380	—	2	2	no	—
94	#380	—	2	2	no	—
95	#380	—	2	2	no	—
96	#380	—	2	2	no	—
97	#340	—	2	4	no	—
98	#340	—	2	4	no	—
99	#340	—	2	4	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#322	—	2	4	no	—
103	#322	—	2	2	no	—
104	#322	D₄	1	4	yes	—
105	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
118	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	#107	—	4	4	no	—
160	#106	—	4	8	no	—
161	#106	—	4	8	no	—
162	#106	—	4	4	no	—
163	#106	—	4	4	no	—
164	#103	—	4	8	no	—
165	#103	—	4	8	no	—
166	#103	—	4	4	no	—
167	#103	—	4	4	no	—
168	C₄×C₈	—	2	4	no	—
169	C₄×C₈	—	2	8	no	—
170	C₄×C₈	—	2	1	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
177	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
178	#95	—	4	2	no	—
179	#95	—	4	2	no	—
180	#95	—	4	2	no	—
181	#95	—	4	2	no	—
182	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	Q₁₆	—	8	8	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	16	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	4	16	no	—
223	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
224	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
225	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
249	C₄²	—	2	1	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂³	—	2	1	no	—
257	C₂³	—	2	1	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	#492	1	2	yes	—
260	C₂³	#497	1	4	yes	—
261	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
262	Q₈	—	8	2	no	—
263	Q₈	—	8	2	no	—
264	Q₈	—	8	4	no	—
265	Q₈	—	8	2	no	—
266	Q₈	—	8	2	no	—
267	Q₈	—	8	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	8	1	no	—
277	C₂×C₄	—	8	1	no	—
278	C₂×C₄	—	8	2	no	—
279	C₂×C₄	—	8	1	no	—
280	C₂×C₄	—	8	1	no	—
281	C₂×C₄	—	8	1	no	—
282	C₂×C₄	—	8	1	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	1	no	—
285	C₂×C₄	—	8	1	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
302	C₈	—	2	4	no	—
303	C₈	—	2	8	no	—
304	C₈	—	4	4	no	—
305	C₈	#465	1	8	yes	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	#1716	1	4	yes	complemented
311	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#497	1	2	yes	—
315	C₂²	#3150	1	2	yes	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	16	1	no	—
319	C₄	—	16	1	no	—
320	C₄	—	16	1	no	—
321	C₄	—	16	1	no	—
322	C₄	—	16	2	no	—
323	C₄	—	16	2	no	—
324	C₄	C₂×#465	1	2	yes	—
325	C₄	#3056	1	4	yes	—
326	C₄	#3167	1	2	yes	—
327	C₄	#3181	1	4	yes	—
328	C₂	—	2	4	no	—
329	C₂	C₂×#1716	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#19608	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#19620	1	2	yes	—
332	C₂	#33170	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#33184	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	#127
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. C₂×#1716	C₂	semidirect
7. #9841	C₂	semidirect
8. #9839	C₂	semidirect
9. #9828	C₂	semidirect
10. #9826	C₂	semidirect
11. #8819	C₂	semidirect
310. C₂²	#1716	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33207	2
#33172	2
#33043	2
C₂×#1716	2
C₂²×#322	2
#9841	2
#9839	2
#9828	2
#9826	2
#8819	2