Subgroups — #352162

Order 512.

900 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33212	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33048	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1722	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1455	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9834	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9825	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9820	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8819	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#470	—	2	2	no	—
17	C₂×#468	—	2	2	no	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2857	C₂²	1	2	yes	—
21	#2857	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2856	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1990	C₂²	1	2	yes	—
24	#1990	C₂²	1	2	yes	—
25	#1990	C₂²	1	2	yes	—
26	#1973	—	2	2	no	—
27	#1971	—	2	2	no	—
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1956	C₂²	1	2	yes	—
31	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1944	—	2	4	no	—
33	#1936	—	2	4	no	—
34	#1895	—	2	4	no	—
35	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1844	C₂²	1	2	yes	—
38	#1834	C₂²	1	2	yes	—
39	#1809	—	2	4	no	—
40	#1722	—	2	4	no	—
41	#1455	—	2	4	no	—
42	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂×#121	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#500	—	2	4	no	—
58	#500	—	2	4	no	—
59	#494	—	2	2	no	—
60	#494	—	2	2	no	—
61	#492	—	2	2	no	—
62	#492	—	2	2	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#470	—	4	8	no	—
66	#468	—	4	8	no	—
67	C₂×#107	—	2	4	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#106	—	2	4	no	—
70	C₂×#106	—	2	2	no	—
71	C₂×#103	—	2	4	no	—
72	C₂×#103	—	2	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	2	no	—
76	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#391	—	2	2	no	—
87	#391	—	2	1	no	—
88	#390	—	2	2	no	—
89	#390	—	2	1	no	—
90	#389	—	2	2	no	—
91	#389	—	2	2	no	—
92	#389	—	2	2	no	—
93	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#384	C₂³	1	2	yes	—
95	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#380	—	2	2	no	—
97	#380	—	2	2	no	—
98	#380	—	2	2	no	—
99	#340	—	2	4	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#322	—	2	4	no	—
104	#322	D₄	1	4	yes	complemented
105	C₈²	—	2	2	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	#127	—	2	1	no	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	1	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
141	#121	—	4	8	no	—
142	#121	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	#107	—	4	8	no	—
166	#107	—	4	4	no	—
167	#106	—	4	8	no	—
168	#106	—	4	4	no	—
169	#103	—	4	4	no	—
170	#103	—	4	8	no	—
171	#102	—	4	4	no	—
172	#102	—	4	8	no	—
173	#102	—	4	8	no	—
174	#97	—	2	8	no	—
175	#97	—	2	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	1	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
183	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	#95	—	4	2	no	—
186	#95	—	4	2	no	—
187	C₂⁴	—	4	1	no	—
188	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
189	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	1	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	1	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	8	2	no	—
206	C₂×D₄	—	8	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	Q₁₆	—	8	8	no	—
225	SD₁₆	—	8	8	no	—
226	M₁₆	—	4	16	no	—
227	M₁₆	—	4	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
236	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	#137	1	8	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	1	no	—
263	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	8	1	no	—
272	C₂³	—	8	1	no	—
273	C₂³	—	8	1	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	8	2	no	—
278	Q₈	—	8	4	no	—
279	Q₈	—	8	2	no	—
280	Q₈	—	8	4	no	—
281	D₄	—	8	4	no	—
282	D₄	—	8	2	no	—
283	D₄	—	8	2	no	—
284	D₄	—	8	4	no	—
285	D₄	—	16	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	1	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	1	no	—
300	C₂×C₄	—	8	1	no	—
301	C₂×C₄	—	8	1	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	1	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
317	C₈	—	2	8	no	—
318	C₈	—	2	8	no	—
319	C₈	—	4	2	no	—
320	C₈	#469	1	8	yes	—
321	C₂²	—	4	1	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	1	no	—
324	C₂²	—	4	1	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	16	1	no	—
327	C₂²	—	16	2	no	—
328	C₂²	—	16	1	no	—
329	C₂²	—	16	1	no	—
330	C₂²	—	16	2	no	—
331	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3152	1	2	yes	—
335	C₂²	#3153	1	2	yes	—
336	C₄	—	4	1	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	16	2	no	—
339	C₄	—	16	1	no	—
340	C₄	—	16	1	no	—
341	C₄	—	16	1	no	—
342	C₄	—	16	2	no	—
343	C₄	C₂×#469	1	2	yes	—
344	C₄	#3056	1	4	yes	—
345	C₄	#3172	1	4	yes	—
346	C₄	#3184	1	2	yes	—
347	C₂	—	8	1	no	—
348	C₂	—	32	1	no	—
349	C₂	#19746	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#19748	1	2	yes	—
351	C₂	#19749	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#33175	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#33186	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#2856	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33212	C₂	semidirect
2. #33176	C₂	semidirect
5. C₂×#1722	C₂	semidirect
6. C₂×#1455	C₂	semidirect
7. #9834	C₂	semidirect
8. #9827	C₂	semidirect
9. #9825	C₂	semidirect
10. #9820	C₂	semidirect
11. #8819	C₂	semidirect
104. #322	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33212	2
#33176	2
#33174	2
#33048	2
C₂×#1722	2
C₂×#1455	2
#9834	2
#9827	2
#9825	2
#9820	2
#8819	2