Subgroups — #35222

Order 256.

3793 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 258 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2846	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2613	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2435	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2433	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2408	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#2309	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂⁶	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
14	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#535	—	2	16	no	—
21	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#525	—	2	8	no	—
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×#120	C₂²	1	16	yes	complemented
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#394	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#392	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#379	C₂²	1	2	yes	—
41	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#379	C₂²	1	16	yes	complemented
43	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
44	C₂⁵	—	2	16	no	—
45	C₂⁵	—	2	8	no	—
46	C₂⁵	—	4	16	no	—
47	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂⁵	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×#41	—	2	4	no	—
51	C₂×#41	—	2	8	no	—
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
53	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
62	C₂²×D₄	D₄	1	16	yes	complemented
63	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
69	C₂²×D₄	C₂³	1	16	yes	complemented
70	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
71	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	complemented
72	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	complemented
77	#127	—	2	16	no	—
78	#124	—	2	16	no	—
79	#123	—	2	8	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
81	#121	—	2	32	no	—
82	#121	—	2	8	no	—
83	#120	—	2	8	no	—
84	#120	—	2	32	no	—
85	#120	—	4	32	no	—
86	C₄×D₄	—	2	16	no	—
87	#117	—	2	4	no	—
88	#117	—	2	8	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	complemented
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	complemented
99	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	complemented
100	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	complemented
101	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
102	C₂⁴	—	2	4	no	—
103	C₂⁴	—	2	8	no	—
104	C₂⁴	—	2	64	no	—
105	C₂⁴	—	2	32	no	—
106	C₂⁴	—	2	16	no	—
107	C₂⁴	—	2	8	no	—
108	C₂⁴	—	2	8	no	—
109	C₂⁴	—	2	32	no	—
110	C₂⁴	—	4	16	no	—
111	C₂⁴	—	4	16	no	—
112	C₂⁴	—	4	128	no	—
113	C₂⁴	—	4	64	no	—
114	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂⁴	C₂×D₄	1	16	yes	—
116	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
117	C₂⁴	C₂⁴	1	8	yes	—
118	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
120	#41	—	4	16	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	64	no	—
124	C₂×D₄	—	2	128	no	—
125	C₂×D₄	—	2	128	no	—
126	C₂×D₄	—	2	32	no	—
127	C₂×D₄	—	2	8	no	—
128	C₂×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂×D₄	—	2	16	no	—
131	C₂×D₄	—	2	32	no	—
132	C₂×D₄	—	2	64	no	—
133	C₂×D₄	—	2	16	no	—
134	C₂×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂×D₄	—	2	8	no	—
136	C₂×D₄	—	2	8	no	—
137	C₂×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂×D₄	—	4	32	no	—
141	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
142	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
170	C₄²	—	2	4	no	—
171	C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂³	—	2	32	no	—
173	C₂³	—	2	8	no	—
174	C₂³	—	2	16	no	—
175	C₂³	—	2	4	no	—
176	C₂³	—	2	4	no	—
177	C₂³	—	2	4	no	—
178	C₂³	—	2	64	no	—
179	C₂³	—	2	32	no	—
180	C₂³	—	2	8	no	—
181	C₂³	—	2	8	no	—
182	C₂³	—	2	32	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	4	no	—
185	C₂³	—	2	8	no	—
186	C₂³	—	4	32	no	—
187	C₂³	—	4	128	no	—
188	C₂³	—	4	256	no	—
189	C₂³	—	4	32	no	—
190	C₂³	—	4	32	no	—
191	C₂³	—	4	32	no	—
192	C₂³	—	4	32	no	—
193	C₂³	C₂²×D₄	1	16	yes	—
194	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
195	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
196	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
197	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
198	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
199	Q₈	—	4	4	no	—
200	D₄	—	2	64	no	—
201	D₄	—	2	32	no	—
202	D₄	—	2	32	no	—
203	D₄	—	4	8	no	—
204	D₄	—	4	16	no	—
205	D₄	—	4	4	no	—
206	D₄	—	8	32	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄	—	2	16	no	—
210	C₂×C₄	—	2	16	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	16	no	—
216	C₂×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂×C₄	#120	1	16	yes	complemented
219	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
223	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²	—	2	32	no	—
225	C₂²	—	2	4	no	—
226	C₂²	—	2	4	no	—
227	C₂²	—	2	4	no	—
228	C₂²	—	2	8	no	—
229	C₂²	—	2	16	no	—
230	C₂²	—	2	16	no	—
231	C₂²	—	2	32	no	—
232	C₂²	—	4	64	no	—
233	C₂²	—	4	128	no	—
234	C₂²	—	4	16	no	—
235	C₂²	—	4	16	no	—
236	C₂²	—	4	2	no	—
237	C₂²	—	4	4	no	—
238	C₂²	—	4	8	no	—
239	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
240	C₂²	#535	1	8	yes	complemented
241	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
243	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
244	C₄	—	2	4	no	—
245	C₄	—	4	2	no	—
246	C₄	—	4	4	no	—
247	C₄	—	4	8	no	—
248	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
249	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
250	C₂	—	2	4	no	—
251	C₂	—	2	8	no	—
252	C₂	—	4	16	no	—
253	C₂	—	8	2	no	—
254	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
255	C₂	C₂×#535	1	2	yes	—
256	C₂	#3484	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂⁴×D₄	C₂	semidirect
2. C₂×#535	C₂	semidirect
3. C₂×#525	C₂	semidirect
4. #2846	C₂	semidirect
5. #2613	C₂	semidirect
6. #2435	C₂	semidirect
7. #2433	C₂	semidirect
8. #2408	C₂	semidirect
9. #2309	C₂	semidirect
10. #2280	C₂	semidirect
12. C₂²×#41	C₂²	semidirect
21. C₂×#127	C₂²	semidirect
22. C₂×#124	C₂²	semidirect
24. C₂×#123	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×#121	C₂²	semidirect
27. C₂×#121	C₂²	semidirect
29. C₂×#120	C₂²	semidirect
30. C₂×#120	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂×#117	C₂²	semidirect
33. C₂×#117	C₂²	semidirect
34. #394	C₂²	semidirect
35. #392	C₂²	semidirect
36. #390	C₂²	semidirect
37. #390	C₂²	semidirect
38. #381	C₂²	semidirect
39. #380	C₂²	semidirect
41. #379	C₂²	semidirect
42. #379	C₂²	semidirect
43. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
52. C₂²×Q₈	C₂³	semidirect
62. C₂²×D₄	D₄	semidirect
68. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
69. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
71. C₂³×C₄	D₄	semidirect
76. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
89. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
90. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
91. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
96. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
97. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
98. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
99. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
100. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
101. #95	C₂³	semidirect
218. C₂×C₄	#120	semidirect
240. C₂²	#535	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×D₄	2
C₂×#535	2
C₂×#525	2
#2846	2
#2613	2
#2435	2
#2433	2
#2408	2
#2309	2
#2280	2