Subgroups — #352239

Order 512.

768 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33222	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33190	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#19274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#19266	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₈×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9793	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9773	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9771	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8822	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	#3079	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#472	—	2	2	no	—
18	#3038	C₂²	1	2	yes	—
19	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1997	C₂²	1	2	yes	—
23	#1978	—	2	2	no	—
24	#1965	C₂²	1	2	yes	—
25	#1952	—	2	2	no	—
26	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1816	—	2	2	no	—
29	#1706	—	2	1	no	—
30	#1706	—	2	1	no	—
31	#1706	—	2	1	no	—
32	#1706	—	2	1	no	—
33	#1678	—	2	4	no	—
34	#1677	—	2	4	no	—
35	#1666	—	2	4	no	—
36	#1665	—	2	4	no	—
37	#1566	C₂²	1	2	yes	—
38	#1566	C₂²	1	2	yes	—
39	#1549	C₂²	1	2	yes	—
40	#1548	C₂²	1	2	yes	—
41	#1545	C₂²	1	2	yes	—
42	#1545	C₂²	1	2	yes	—
43	#1450	—	2	1	no	—
44	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₈×M₁₆	—	2	1	no	—
46	C₈×M₁₆	—	2	1	no	—
47	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₈²	—	2	1	no	—
50	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
54	C₂×#131	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#500	—	2	1	no	—
59	#500	—	2	1	no	—
60	#500	—	2	2	no	—
61	#493	—	2	1	no	—
62	#493	—	2	1	no	—
63	#493	—	2	2	no	—
64	#492	—	2	4	no	—
65	#492	—	2	2	no	—
66	#492	—	2	2	no	—
67	#486	—	2	4	no	—
68	#486	—	2	2	no	—
69	#486	—	2	2	no	—
70	#477	—	2	2	no	—
71	#476	—	2	2	no	—
72	#475	—	2	2	no	—
73	#474	—	2	2	no	—
74	#472	—	4	8	no	—
75	#460	—	2	2	no	—
76	#460	—	2	2	no	—
77	#459	—	2	2	no	—
78	#459	—	2	2	no	—
79	C₈×Q₈	D₄	1	2	yes	—
80	C₈×Q₈	D₄	1	2	yes	—
81	C₈×D₄	—	2	2	no	—
82	C₈×D₄	—	2	2	no	—
83	C₈×D₄	D₄	1	2	yes	—
84	C₈×D₄	D₄	1	2	yes	—
85	#431	—	2	1	no	—
86	#431	—	2	1	no	—
87	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#108	—	2	2	no	—
90	C₂×#108	—	2	2	no	—
91	#428	—	2	2	no	—
92	C₂×#107	—	2	2	no	—
93	#423	C₂³	1	2	yes	—
94	#423	C₂³	1	2	yes	—
95	#418	—	2	2	no	—
96	#417	—	2	2	no	—
97	C₂×#102	—	2	4	no	—
98	C₂×#100	—	2	4	no	—
99	#405	—	2	2	no	—
100	#405	D₄	1	2	yes	—
101	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
102	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#343	—	2	4	no	—
110	#334	—	2	4	no	—
111	#334	—	2	4	no	—
112	#333	—	2	4	no	—
113	#332	—	2	4	no	—
114	#331	—	2	4	no	—
115	#331	—	2	4	no	—
116	#322	—	2	1	no	—
117	#322	—	2	1	no	—
118	#322	—	2	1	no	—
119	C₈²	—	2	1	no	—
120	C₈²	—	2	1	no	—
121	C₈²	—	2	1	no	—
122	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
136	C₂×D₈	—	4	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	2	no	—
138	C₂×D₈	—	4	2	no	—
139	C₂×D₈	—	4	4	no	—
140	C₂×D₈	—	4	4	no	—
141	#131	—	2	4	no	—
142	#131	SD₁₆	1	8	yes	complemented
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	2	2	no	—
161	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	—	2	1	no	—
165	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	#117	—	2	1	no	—
168	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	#108	—	4	4	no	—
174	#108	—	4	4	no	—
175	#107	—	4	2	no	—
176	#107	—	4	2	no	—
177	#107	—	4	2	no	—
178	#106	—	4	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	#103	—	4	2	no	—
188	#102	—	4	2	no	—
189	#102	—	4	4	no	—
190	#102	—	4	4	no	—
191	#102	—	4	2	no	—
192	#102	—	4	2	no	—
193	#100	—	4	8	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
198	#97	—	2	2	no	—
199	#97	—	2	1	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	1	no	—
204	C₄×C₈	—	2	1	no	—
205	C₄×C₈	—	2	1	no	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
215	C₂⁴	—	4	2	no	—
216	#41	—	2	2	no	—
217	#41	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
221	C₂×Q₈	#127	1	1	yes	characteristic
222	C₂×D₄	—	2	1	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	8	4	no	—
232	C₂×D₄	—	8	4	no	—
233	C₂×D₄	#127	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
241	SD₁₆	—	8	8	no	—
242	SD₁₆	—	8	4	no	—
243	SD₁₆	—	8	8	no	—
244	D₈	—	8	4	no	—
245	D₈	—	8	4	no	—
246	D₈	—	8	4	no	—
247	M₁₆	—	2	2	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	4	4	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
277	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
278	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	2	1	no	—
284	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	4	no	—
291	C₂³	—	16	2	no	—
292	C₂³	—	16	2	no	—
293	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	2	1	no	—
295	Q₈	—	8	4	no	—
296	Q₈	—	16	2	no	—
297	Q₈	#492	1	2	yes	—
298	D₄	—	2	4	no	—
299	D₄	—	2	1	no	—
300	D₄	—	8	2	no	—
301	D₄	—	8	2	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	D₄	—	8	4	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	16	2	no	—
306	D₄	—	16	2	no	—
307	D₄	#492	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	16	2	no	—
318	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
326	C₈	—	2	4	no	—
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	—	2	2	no	—
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	4	2	no	—
331	C₈	—	4	2	no	—
332	C₈	—	8	2	no	—
333	C₈	—	8	2	no	—
334	C₈	#465	1	4	yes	—
335	C₈	#465	1	4	yes	—
336	C₈	#472	1	4	yes	complemented
337	C₂²	—	2	1	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	4	1	no	—
341	C₂²	—	4	1	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	—	32	4	no	—
346	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3167	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	4	1	no	—
352	C₄	—	4	1	no	—
353	C₄	—	16	2	no	—
354	C₄	C₂×#465	1	2	yes	—
355	C₄	C₂×#472	1	2	yes	—
356	C₄	#3067	1	2	yes	—
357	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
359	C₂	—	2	2	no	—
360	C₂	—	4	2	no	—
361	C₂	—	32	2	no	—
362	C₂	#33170	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#33190	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#33192	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2856
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33190	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33222	C₂	semidirect
3. C₂×#1706	C₂	semidirect
4. #19274	C₂	semidirect
5. #19266	C₂	semidirect
6. C₈×#131	C₂	semidirect
7. #9800	C₂	semidirect
8. #9793	C₂	semidirect
9. #9773	C₂	semidirect
10. #9771	C₂	semidirect
11. #8822	C₂	semidirect
142. #131	SD₁₆	semidirect
336. C₈	#472	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33222	2
#33190	2
C₂×#1706	2
#19274	2
#19266	2
C₈×#131	2
#9800	2
#9793	2
#9773	2
#9771	2
#8822	2