Subgroups — #35233

Order 256.

1451 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 319 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2849	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2636	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2598	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2566	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2534	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#2328	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2326	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	#529	—	2	8	no	—
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#394	C₂²	1	4	yes	—
45	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#392	C₂²	1	4	yes	—
47	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#390	C₂²	1	2	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#381	C₂²	1	2	yes	—
62	#381	C₂²	1	4	yes	—
63	#380	C₂²	1	2	yes	—
64	#379	C₂²	1	4	yes	—
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
79	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#127	—	2	8	no	—
88	#126	—	2	8	no	—
89	#125	—	2	4	no	—
90	#124	—	2	8	no	—
91	#124	—	2	4	no	—
92	#123	—	2	8	no	—
93	#123	—	4	8	no	—
94	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
95	#121	—	2	4	no	—
96	#120	—	4	8	no	—
97	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₄×D₄	—	2	8	no	—
99	C₄×D₄	—	2	8	no	—
100	C₄×D₄	—	2	8	no	—
101	C₄×D₄	—	2	8	no	—
102	C₄×D₄	—	2	8	no	—
103	C₄×D₄	—	2	4	no	—
104	#117	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
130	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
131	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	4	yes	—
140	#95	C₂³	1	2	yes	—
141	#95	C₂³	1	2	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	8	yes	—
144	#95	C₂³	1	8	yes	—
145	C₂⁴	—	2	4	no	—
146	C₂⁴	—	2	8	no	—
147	C₂⁴	—	2	8	no	—
148	C₂⁴	—	4	4	no	—
149	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂×D₄	—	2	32	no	—
155	C₂×D₄	—	2	8	no	—
156	C₂×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	2	8	no	—
158	C₂×D₄	—	2	16	no	—
159	C₂×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂×D₄	—	2	4	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	—	2	4	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	4	8	no	—
165	C₂×D₄	—	4	8	no	—
166	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	—	2	4	no	—
219	C₄²	—	2	4	no	—
220	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	16	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	4	32	no	—
236	C₂³	—	4	8	no	—
237	C₂³	—	4	8	no	—
238	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂³	C₂×#41	1	8	yes	—
240	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
241	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
242	Q₈	—	4	4	no	—
243	D₄	—	2	16	no	—
244	D₄	—	2	16	no	—
245	D₄	—	4	8	no	—
246	D₄	—	4	4	no	—
247	D₄	—	8	16	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	16	no	—
272	C₂×C₄	—	4	16	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	8	no	—
284	C₂²	—	2	8	no	—
285	C₂²	—	2	16	no	—
286	C₂²	—	4	32	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	4	8	no	—
290	C₂²	—	4	2	no	—
291	C₂²	—	4	2	no	—
292	C₂²	—	4	2	no	—
293	C₂²	—	4	8	no	—
294	C₂²	#535	1	4	yes	—
295	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂²	#585	1	2	yes	—
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	4	2	no	—
305	C₄	—	4	4	no	—
306	C₄	—	4	2	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	4	4	no	—
309	C₄	—	4	4	no	—
310	C₄	#525	1	4	yes	—
311	C₂	—	2	4	no	—
312	C₂	—	4	8	no	—
313	C₂	—	8	2	no	—
314	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
315	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#3513	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2433	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#529	C₂	semidirect
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. #2849	C₂	semidirect
4. #2636	C₂	semidirect
5. #2598	C₂	semidirect
6. #2566	C₂	semidirect
7. #2544	C₂	semidirect
8. #2534	C₂	semidirect
9. #2503	C₂	semidirect
10. #2501	C₂	semidirect
11. #2435	C₂	semidirect
13. #2328	C₂	semidirect
14. #2326	C₂	semidirect
15. #2283	C₂	semidirect
20. C₂×#126	C₂²	semidirect
21. C₂×#125	C₂²	semidirect
23. C₂×#124	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
37. C₂×#117	C₂²	semidirect
41. #400	C₂²	semidirect
42. #399	C₂²	semidirect
43. #396	C₂²	semidirect
45. #394	C₂²	semidirect
47. #391	C₂²	semidirect
50. #390	C₂²	semidirect
51. #388	C₂²	semidirect
52. #386	C₂²	semidirect
53. #386	C₂²	semidirect
54. #386	C₂²	semidirect
55. #385	C₂²	semidirect
56. #385	C₂²	semidirect
57. #384	C₂²	semidirect
58. #383	C₂²	semidirect
59. #382	C₂²	semidirect
60. #382	C₂²	semidirect
65. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
68. #376	C₂²	semidirect
130. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2849	2
#2636	2
#2598	2
#2566	2
#2544	2
#2534	2
#2503	2
#2501	2
#2435	2
#2433	2
#2328	2
#2326	2
#2283	2