Subgroups — #35251

Order 256.

2713 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 399 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#537	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2848	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2616	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2615	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2430	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2410	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2407	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2311	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	—	2	16	no	—
16	C₂²×#41	—	2	8	no	—
17	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#537	—	2	16	no	—
28	#525	—	2	8	no	—
29	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
43	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
46	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#385	C₂²	1	4	yes	—
58	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#380	C₂²	1	2	yes	—
60	#380	C₂²	1	2	yes	—
61	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#379	C₂²	1	4	yes	—
66	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
67	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#41	—	2	128	no	—
70	C₂×#41	—	2	8	no	—
71	C₂×#41	—	2	8	no	—
72	C₂×#41	—	2	16	no	—
73	C₂×#41	—	2	8	no	—
74	C₂×#41	—	2	16	no	—
75	C₂×#41	—	2	8	no	—
76	C₂×#41	—	2	8	no	—
77	C₂×#41	—	2	8	no	—
78	C₂×#41	—	2	8	no	—
79	C₂×#41	—	2	4	no	—
80	C₂×#41	—	2	8	no	—
81	C₂×#41	D₄	1	16	yes	complemented
82	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
83	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	complemented
104	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#123	—	2	8	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
118	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
120	#121	—	2	16	no	—
121	#121	—	2	32	no	—
122	#121	—	2	4	no	—
123	#121	—	2	4	no	—
124	#121	—	2	16	no	—
125	#120	—	2	8	no	—
126	#120	—	4	8	no	—
127	C₄×D₄	—	2	8	no	—
128	C₄×D₄	—	2	8	no	—
129	#117	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	8	yes	—
154	#95	C₂³	1	8	yes	—
155	C₂⁴	—	2	8	no	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	—	2	4	no	—
158	C₂⁴	—	2	2	no	—
159	C₂⁴	—	2	2	no	—
160	C₂⁴	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	4	2	no	—
163	C₂⁴	—	4	4	no	—
164	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	#41	—	2	64	no	—
171	#41	—	2	64	no	—
172	#41	—	2	64	no	—
173	#41	—	2	64	no	—
174	#41	—	4	16	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₂×D₄	—	2	64	no	—
184	C₂×D₄	—	2	32	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	2	8	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	16	no	—
197	C₂×D₄	—	2	8	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	—	4	8	no	—
206	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
207	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	1	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	16	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	4	16	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	4	16	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
294	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
299	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	2	16	no	—
302	Q₈	—	2	16	no	—
303	Q₈	—	4	4	no	—
304	D₄	—	2	32	no	—
305	D₄	—	2	16	no	—
306	D₄	—	2	32	no	—
307	D₄	—	2	16	no	—
308	D₄	—	4	8	no	—
309	D₄	—	4	8	no	—
310	D₄	—	4	8	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	8	16	no	—
313	C₂×C₄	—	2	16	no	—
314	C₂×C₄	—	2	32	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	32	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	8	8	no	—
337	C₂×C₄	#120	1	16	yes	complemented
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	8	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	8	no	—
358	C₂²	—	2	8	no	—
359	C₂²	—	4	16	no	—
360	C₂²	—	4	32	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
373	C₂²	#537	1	4	yes	complemented
374	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#585	1	2	yes	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	8	no	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	4	2	no	—
385	C₄	—	4	8	no	—
386	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
387	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
388	C₂	—	2	4	no	—
389	C₂	—	2	4	no	—
390	C₂	—	4	2	no	—
391	C₂	—	4	8	no	—
392	C₂	—	8	2	no	—
393	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
394	C₂	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#3488	1	2	yes	—
397	C₂	#3489	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#41	C₂	semidirect
2. C₂×#537	C₂	semidirect
3. C₂×#525	C₂	semidirect
4. #2848	C₂	semidirect
5. #2847	C₂	semidirect
6. #2616	C₂	semidirect
7. #2615	C₂	semidirect
8. #2430	C₂	semidirect
9. #2410	C₂	semidirect
10. #2409	C₂	semidirect
11. #2408	C₂	semidirect
12. #2407	C₂	semidirect
13. #2311	C₂	semidirect
14. C₂×#380	C₂	semidirect
21. C₂²×#41	C₂²	semidirect
29. C₂×#123	C₂²	semidirect
31. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
32. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
33. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
35. C₂×#121	C₂²	semidirect
36. C₂×#121	C₂²	semidirect
37. C₂×#121	C₂²	semidirect
38. C₂×#121	C₂²	semidirect
42. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
43. C₂×#117	C₂²	semidirect
44. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
46. #395	C₂²	semidirect
47. #394	C₂²	semidirect
48. #394	C₂²	semidirect
49. #393	C₂²	semidirect
50. #392	C₂²	semidirect
51. #392	C₂²	semidirect
52. #391	C₂²	semidirect
53. #390	C₂²	semidirect
55. #386	C₂²	semidirect
56. #386	C₂²	semidirect
58. #385	C₂²	semidirect
61. #380	C₂²	semidirect
62. #380	C₂²	semidirect
63. #380	C₂²	semidirect
64. #380	C₂²	semidirect
66. C₂×#95	C₂²	semidirect
81. C₂×#41	D₄	semidirect
103. C₂³×C₄	D₄	semidirect
337. C₂×C₄	#120	semidirect
373. C₂²	#537	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#41	2
C₂×#537	2
C₂×#525	2
#2848	2
#2847	2
#2616	2
#2615	2
#2430	2
#2410	2
#2409	2
#2408	2
#2407	2
#2311	2
C₂×#380	2