Subgroups — #35261

Order 256.

1353 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2851	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2629	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2624	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2619	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2476	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2471	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2443	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2424	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#540	—	2	8	no	—
18	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#117	—	2	8	no	—
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#396	C₂²	1	4	yes	—
44	#394	C₂²	1	4	yes	—
45	#394	C₂²	1	4	yes	—
46	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#392	C₂²	1	4	yes	—
48	#390	C₂²	1	4	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#388	C₂²	1	4	yes	—
55	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#386	C₂²	1	4	yes	—
60	#386	C₂²	1	4	yes	—
61	#386	C₂²	1	4	yes	—
62	#386	C₂²	1	4	yes	—
63	#386	C₂²	1	4	yes	—
64	#385	C₂²	1	4	yes	—
65	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#380	C₂²	1	2	yes	—
69	#380	C₂²	1	2	yes	—
70	#380	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
73	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	#127	—	2	4	no	—
92	#125	—	2	4	no	—
93	#123	—	2	16	no	—
94	#121	—	2	8	no	—
95	#121	—	2	8	no	—
96	#121	—	2	8	no	—
97	#121	—	2	16	no	—
98	#121	—	4	8	no	—
99	#120	—	4	8	no	—
100	C₄×D₄	—	2	8	no	—
101	C₄×D₄	—	4	8	no	—
102	#117	—	2	4	no	—
103	#117	—	2	8	no	—
104	#117	—	2	8	no	—
105	#117	—	2	4	no	—
106	#117	—	2	4	no	—
107	#117	D₄	1	8	yes	complemented
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	#95	C₂³	1	4	yes	—
147	#95	C₂³	1	4	yes	—
148	#95	C₂³	1	4	yes	—
149	#95	C₂³	1	4	yes	—
150	#95	C₂³	1	4	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂⁴	—	2	2	no	—
153	C₂⁴	—	2	2	no	—
154	C₂⁴	—	2	2	no	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	—	4	2	no	—
157	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂×D₄	—	2	8	no	—
162	C₂×D₄	—	2	8	no	—
163	C₂×D₄	—	2	8	no	—
164	C₂×D₄	—	2	8	no	—
165	C₂×D₄	—	2	8	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	8	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
241	C₄²	—	2	4	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	4	4	no	—
246	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
247	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
248	C₂³	—	2	1	no	—
249	C₂³	—	2	1	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	2	1	no	—
255	C₂³	—	2	1	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	4	8	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
276	D₄	—	4	16	no	—
277	D₄	—	4	8	no	—
278	D₄	—	8	8	no	—
279	D₄	—	8	8	no	—
280	D₄	—	8	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	8	8	no	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	4	16	no	—
332	C₂²	—	4	1	no	—
333	C₂²	—	4	1	no	—
334	C₂²	—	4	1	no	—
335	C₂²	—	4	1	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	#540	1	4	yes	complemented
346	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
350	C₂²	#585	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	#525	1	4	yes	—
362	C₂	—	2	4	no	—
363	C₂	—	4	2	no	—
364	C₂	—	4	2	no	—
365	C₂	—	8	4	no	—
366	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#540	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#3455	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#3488	1	2	yes	—
370	C₂	#3494	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#540	C₂	semidirect
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
3. #2856	C₂	semidirect
4. #2851	C₂	semidirect
5. #2847	C₂	semidirect
6. #2629	C₂	semidirect
7. #2624	C₂	semidirect
8. #2619	C₂	semidirect
9. #2476	C₂	semidirect
10. #2471	C₂	semidirect
11. #2443	C₂	semidirect
12. #2424	C₂	semidirect
13. #2324	C₂	semidirect
14. #2314	C₂	semidirect
15. C₄×#121	C₂	semidirect
18. C₂×#127	C₂²	semidirect
19. C₂×#125	C₂²	semidirect
20. C₂×#123	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
40. #399	C₂²	semidirect
41. #398	C₂²	semidirect
42. #397	C₂²	semidirect
46. #394	C₂²	semidirect
49. #390	C₂²	semidirect
50. #390	C₂²	semidirect
51. #390	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
53. #389	C₂²	semidirect
55. #388	C₂²	semidirect
56. #388	C₂²	semidirect
57. #387	C₂²	semidirect
58. #387	C₂²	semidirect
65. #385	C₂²	semidirect
66. #384	C₂²	semidirect
67. #382	C₂²	semidirect
71. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
72. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
107. #117	D₄	semidirect
345. C₂²	#540	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#540	2
C₂²×#117	2
#2856	2
#2851	2
#2847	2
#2629	2
#2624	2
#2619	2
#2476	2
#2471	2
#2443	2
#2424	2
#2324	2
#2314	2
C₄×#121	2