Subgroups — #35272

Order 256.

1975 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 237 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2856	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2619	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2548	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2541	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2408	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#2309	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
14	#535	—	2	16	no	—
15	C₂×#127	—	2	8	no	—
16	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#121	C₂²	1	16	yes	complemented
23	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	—
24	C₄×#41	—	2	8	no	—
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#394	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#392	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#390	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#380	C₂²	1	4	yes	—
41	#379	C₂²	1	8	yes	—
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
43	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×#41	—	2	4	no	—
45	C₂×#41	—	2	4	no	—
46	C₂×#41	D₄	1	8	yes	complemented
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
52	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
53	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×D₄	C₂³	1	16	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#127	—	2	16	no	—
65	#127	—	2	8	no	—
66	#127	—	2	8	no	—
67	#127	—	2	16	no	—
68	#124	—	2	16	no	—
69	#121	—	2	32	no	—
70	#121	—	4	32	no	—
71	#120	—	2	32	no	—
72	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
73	C₄×D₄	—	2	16	no	—
74	C₄×D₄	—	2	8	no	—
75	#117	—	2	4	no	—
76	#117	—	2	8	no	—
77	#117	—	2	8	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
87	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
89	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#95	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂⁴	—	2	8	no	—
97	C₂⁴	—	2	8	no	—
98	C₂⁴	—	2	8	no	—
99	C₂⁴	—	4	16	no	—
100	C₂⁴	C₂⁴	1	8	yes	—
101	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	#41	—	2	32	no	—
104	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
107	C₂×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂×D₄	—	2	32	no	—
110	C₂×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂×D₄	—	2	16	no	—
114	C₂×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂×D₄	—	2	16	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	—	2	8	no	—
119	C₂×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂×D₄	—	2	32	no	—
121	C₂×D₄	—	4	16	no	—
122	C₂×D₄	—	4	64	no	—
123	C₂×D₄	—	4	32	no	—
124	C₂×D₄	—	4	32	no	—
125	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
127	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
136	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
153	C₄²	—	2	4	no	—
154	C₄²	—	2	8	no	—
155	C₄²	—	2	8	no	—
156	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	C₂³	—	2	4	no	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	—	2	2	no	—
162	C₂³	—	2	8	no	—
163	C₂³	—	2	8	no	—
164	C₂³	—	2	8	no	—
165	C₂³	—	2	8	no	—
166	C₂³	—	2	32	no	—
167	C₂³	—	4	32	no	—
168	C₂³	—	4	16	no	—
169	C₂³	—	8	16	no	—
170	C₂³	—	8	16	no	—
171	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
172	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
173	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
174	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
175	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
176	Q₈	—	2	8	no	—
177	D₄	—	2	16	no	—
178	D₄	—	2	8	no	—
179	D₄	—	4	32	no	—
180	D₄	—	4	16	no	—
181	D₄	—	4	16	no	—
182	D₄	—	4	32	no	—
183	D₄	—	8	32	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	2	16	no	—
188	C₂×C₄	—	2	16	no	—
189	C₂×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄	—	2	16	no	—
193	C₂×C₄	—	4	16	no	—
194	C₂×C₄	#121	1	16	yes	complemented
195	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
205	C₂²	—	2	4	no	—
206	C₂²	—	2	4	no	—
207	C₂²	—	2	4	no	—
208	C₂²	—	2	4	no	—
209	C₂²	—	2	8	no	—
210	C₂²	—	4	4	no	—
211	C₂²	—	4	4	no	—
212	C₂²	—	4	8	no	—
213	C₂²	—	4	16	no	—
214	C₂²	—	4	16	no	—
215	C₂²	—	4	16	no	—
216	C₂²	—	8	32	no	—
217	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
218	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
222	C₄	—	2	4	no	—
223	C₄	—	2	4	no	—
224	C₄	—	4	4	no	—
225	C₄	—	4	8	no	—
226	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
227	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
228	C₄	#535	1	8	yes	complemented
229	C₂	—	2	4	no	—
230	C₂	—	4	4	no	—
231	C₂	—	8	8	no	—
232	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
233	C₂	C₂×#535	1	2	yes	—
234	C₂	#3498	1	2	yes	—
235	C₂	#3508	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#535	C₂	semidirect
2. C₂²×#127	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
4. #2856	C₂	semidirect
5. #2619	C₂	semidirect
6. #2548	C₂	semidirect
7. #2541	C₂	semidirect
8. #2408	C₂	semidirect
9. #2309	C₂	semidirect
10. #2285	C₂	semidirect
19. C₂×#127	C₂²	semidirect
20. C₂×#124	C₂²	semidirect
21. C₂×#121	C₂²	semidirect
22. C₂×#121	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂×#117	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
33. #394	C₂²	semidirect
34. #392	C₂²	semidirect
35. #390	C₂²	semidirect
36. #390	C₂²	semidirect
37. #390	C₂²	semidirect
38. #384	C₂²	semidirect
39. #382	C₂²	semidirect
42. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
46. C₂×#41	D₄	semidirect
88. C₂×C₄²	D₄	semidirect
106. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
126. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
135. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
194. C₂×C₄	#121	semidirect
228. C₄	#535	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535	2
C₂²×#127	2
C₂×C₄×#41	2
#2856	2
#2619	2
#2548	2
#2541	2
#2408	2
#2309	2
#2285	2