Subgroups — #35279

Order 256.

1303 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 273 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2857	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2628	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2568	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2567	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2563	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2542	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2487	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2409	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2317	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2311	C₂	1	2	yes	maximal
13	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
22	C₄×#41	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#400	C₂²	1	8	yes	—
37	#399	C₂²	1	8	yes	—
38	#395	C₂²	1	8	yes	—
39	#393	C₂²	1	8	yes	—
40	#391	C₂²	1	4	yes	—
41	#391	C₂²	1	8	yes	—
42	#390	C₂²	1	4	yes	—
43	#389	C₂²	1	8	yes	—
44	#389	C₂²	1	8	yes	—
45	#386	C₂²	1	8	yes	—
46	#385	C₂²	1	8	yes	—
47	#384	C₂²	1	4	yes	—
48	#384	C₂²	1	2	yes	—
49	#382	C₂²	1	4	yes	—
50	#382	C₂²	1	2	yes	—
51	#380	C₂²	1	8	yes	—
52	#380	C₂²	1	8	yes	—
53	#380	C₂²	1	2	yes	—
54	#380	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
56	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂×#41	—	2	4	no	—
58	C₂×#41	—	2	4	no	—
59	C₂×#41	Q₈	1	8	yes	complemented
60	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
62	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
75	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
76	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
77	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
79	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
80	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
81	C₄×D₄	—	2	8	no	—
82	C₄×D₄	—	2	8	no	—
83	C₄×D₄	—	2	4	no	—
84	C₄×D₄	—	2	4	no	—
85	#117	—	2	4	no	—
86	#117	—	2	8	no	—
87	#117	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
107	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#95	C₂³	1	4	yes	—
118	#95	C₂³	1	4	yes	—
119	#95	C₂³	1	16	yes	—
120	#95	C₂³	1	16	yes	—
121	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
122	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	#41	—	2	32	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
129	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
130	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
131	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
137	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
148	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
153	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
182	C₄²	—	2	4	no	—
183	C₄²	—	2	4	no	—
184	C₄²	—	2	4	no	—
185	C₄²	—	2	8	no	—
186	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
198	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
199	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
200	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
201	Q₈	—	2	8	no	—
202	Q₈	—	4	16	no	—
203	Q₈	—	4	16	no	—
204	D₄	—	2	16	no	—
205	D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	16	no	—
211	C₂×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	4	16	no	—
223	C₂×C₄	—	4	8	no	—
224	C₂×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	complemented
226	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
233	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
239	C₂²	—	2	2	no	—
240	C₂²	—	2	2	no	—
241	C₂²	—	2	4	no	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	2	4	no	—
244	C₂²	—	2	8	no	—
245	C₂²	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	—	4	4	no	—
248	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
249	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
253	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
254	C₄	—	2	4	no	—
255	C₄	—	2	2	no	—
256	C₄	—	2	2	no	—
257	C₄	—	4	2	no	—
258	C₄	—	4	8	no	—
259	C₄	—	4	2	no	—
260	C₄	—	4	8	no	—
261	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
263	C₄	#535	1	4	yes	—
264	C₄	#536	1	4	yes	—
265	C₂	—	2	4	no	—
266	C₂	—	4	4	no	—
267	C₂	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
268	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
269	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#3503	1	2	yes	—
271	C₂	#3511	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2857	C₂	semidirect
4. #2628	C₂	semidirect
5. #2568	C₂	semidirect
6. #2567	C₂	semidirect
7. #2563	C₂	semidirect
8. #2542	C₂	semidirect
9. #2487	C₂	semidirect
10. #2409	C₂	semidirect
11. #2317	C₂	semidirect
13. #2285	C₂	semidirect
59. C₂×#41	Q₈	semidirect
131. C₂×Q₈	C₂×Q₈	semidirect
137. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
152. C₂²×C₄	C₂×Q₈	semidirect
225. C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊Q₈	2
C₂×C₄×#41	2
#2857	2
#2628	2
#2568	2
#2567	2
#2563	2
#2542	2
#2487	2
#2409	2
#2317	2
#2311	2
#2285	2