Subgroups — #35281

Order 256.

1187 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 207 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2868	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2660	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2567	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2546	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2502	C₂	1	4	yes	maximal
9	#2434	C₂	1	4	yes	maximal
10	#2317	C₂	1	4	yes	maximal
11	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	#533	—	2	8	no	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#398	C₂²	1	16	yes	—
33	#395	C₂²	1	16	yes	—
34	#391	C₂²	1	8	yes	—
35	#391	C₂²	1	8	yes	—
36	#389	C₂²	1	16	yes	—
37	#385	C₂²	1	16	yes	—
38	#384	C₂²	1	8	yes	—
39	#384	C₂²	1	8	yes	—
40	#382	C₂²	1	8	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
45	#376	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
48	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
49	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
58	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
59	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
60	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
61	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
62	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
64	#125	—	2	8	no	—
65	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
66	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
67	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
68	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
69	#117	—	2	8	no	—
70	#117	Q₈	1	16	yes	complemented
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
96	#95	C₂³	1	4	yes	—
97	#95	C₂³	1	4	yes	—
98	#95	C₂³	1	32	yes	—
99	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
106	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
108	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
138	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
139	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
141	C₄²	—	2	8	no	—
142	C₄²	—	2	8	no	—
143	C₄²	—	2	8	no	—
144	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₄²	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
149	C₂³	—	2	2	no	—
150	C₂³	—	2	2	no	—
151	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
152	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
153	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
154	Q₈	—	4	16	no	—
155	Q₈	—	4	8	no	—
156	Q₈	—	4	16	no	—
157	Q₈	—	4	8	no	—
158	C₂×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄	—	2	16	no	—
169	C₂×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄	—	4	16	no	—
171	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
172	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
179	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
181	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
182	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
183	C₂²	—	2	2	no	—
184	C₂²	—	2	2	no	—
185	C₂²	—	2	8	no	—
186	C₂²	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
187	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
189	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
190	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
191	C₄	—	2	2	no	—
192	C₄	—	2	2	no	—
193	C₄	—	2	16	no	—
194	C₄	—	4	8	no	—
195	C₄	—	4	4	no	—
196	C₄	—	4	4	no	—
197	C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
198	C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
199	C₄	#535	1	4	yes	—
200	C₄	#536	1	4	yes	—
201	C₂	—	2	4	no	—
202	C₂	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
204	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
205	C₂	#3503	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #2868	C₂	semidirect
4. #2862	C₂	semidirect
5. #2660	C₂	semidirect
6. #2567	C₂	semidirect
7. #2546	C₂	semidirect
70. #117	Q₈	semidirect
138. C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
148. C₄²	C₂×Q₈	semidirect
171. C₂×C₄	C₄⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
C₂²×C₄⋊Q₈	2
#2868	2
#2862	2
#2660	2
#2567	2
#2546	2
#2502	2
#2434	2
#2317	2
C₄×#117	2