Subgroups — #35289

Order 256.

1327 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 223 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2858	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2640	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2563	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2547	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2504	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2436	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2311	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#532	—	2	8	no	—
15	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#397	C₂²	1	16	yes	—
33	#393	C₂²	1	16	yes	—
34	#391	C₂²	1	8	yes	—
35	#391	C₂²	1	8	yes	—
36	#390	C₂²	1	8	yes	—
37	#390	C₂²	1	8	yes	—
38	#386	C₂²	1	16	yes	—
39	#382	C₂²	1	8	yes	—
40	#380	C₂²	1	16	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
45	#376	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×#41	—	2	8	no	—
48	C₂×#41	—	2	16	no	—
49	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
50	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
51	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
64	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
65	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
66	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
67	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
68	#127	—	2	4	no	—
69	#124	—	2	8	no	—
70	#124	—	4	16	no	—
71	#121	—	2	8	no	—
72	#121	—	2	8	no	—
73	C₄×D₄	—	2	8	no	—
74	C₄×D₄	—	2	8	no	—
75	#117	—	2	8	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
89	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	—
90	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#95	C₂³	1	4	yes	—
98	#95	C₂³	1	4	yes	—
99	#95	C₂³	1	32	yes	—
100	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
101	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	#41	—	4	32	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
104	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
106	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
108	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
109	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
110	C₂×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂×D₄	—	2	16	no	—
112	C₂×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
123	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
148	C₄²	—	2	8	no	—
149	C₄²	—	2	8	no	—
150	C₄²	—	2	8	no	—
151	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂³	—	2	2	no	—
156	C₂³	—	2	2	no	—
157	C₂³	—	2	4	no	—
158	C₂³	—	2	8	no	—
159	C₂³	—	2	8	no	—
160	C₂³	—	2	8	no	—
161	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
162	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
163	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
164	Q₈	—	4	16	no	—
165	Q₈	—	4	8	no	—
166	Q₈	—	4	16	no	—
167	D₄	—	4	16	no	—
168	D₄	—	4	8	no	—
169	D₄	—	4	8	no	—
170	D₄	—	4	8	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄	—	2	16	no	—
181	C₂×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄	—	4	16	no	—
183	C₂×C₄	—	4	16	no	—
184	C₂×C₄	#124	1	16	yes	complemented
185	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
192	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
193	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
194	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
195	C₂²	—	2	2	no	—
196	C₂²	—	2	2	no	—
197	C₂²	—	2	8	no	—
198	C₂²	—	4	4	no	—
199	C₂²	—	4	4	no	—
200	C₂²	—	4	4	no	—
201	C₂²	—	4	16	no	—
202	C₂²	C₂×#124	1	4	yes	—
203	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
205	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
206	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
207	C₄	—	2	2	no	—
208	C₄	—	2	2	no	—
209	C₄	—	4	4	no	—
210	C₄	—	4	8	no	—
211	C₄	—	4	8	no	—
212	C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
213	C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
214	C₄	#535	1	4	yes	—
215	C₄	#536	1	4	yes	—
216	C₂	—	2	4	no	—
217	C₂	—	8	4	no	—
218	C₂	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
219	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
220	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
221	C₂	#3511	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2862	C₂	semidirect
4. #2858	C₂	semidirect
5. #2640	C₂	semidirect
6. #2563	C₂	semidirect
7. #2547	C₂	semidirect
8. #2504	C₂	semidirect
9. #2436	C₂	semidirect
10. #2311	C₂	semidirect
11. C₄×#117	C₂	semidirect
184. C₂×C₄	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
C₂²×C₄⋊Q₈	2
#2862	2
#2858	2
#2640	2
#2563	2
#2547	2
#2504	2
#2436	2
#2311	2
C₄×#117	2