Subgroups — #352960

Order 512.

1369 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33304	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#30259	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#30258	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1721	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1721	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#1717	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#1715	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#7842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#496	—	2	4	no	—
14	C₂×#493	—	2	4	no	—
15	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#487	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2014	—	2	4	no	—
33	#2011	—	2	4	no	—
34	#1968	—	2	4	no	—
35	#1961	—	2	4	no	—
36	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1721	—	2	8	no	—
40	#1721	—	2	8	no	—
41	#1717	—	2	8	no	—
42	#1715	—	2	8	no	—
43	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	2	no	—
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	—	2	2	no	—
61	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#124	—	2	2	no	—
65	#498	—	2	4	no	—
66	#496	—	4	16	no	—
67	#493	—	2	4	no	—
68	#493	—	2	4	no	—
69	#493	—	2	4	no	—
70	#493	—	2	4	no	—
71	#493	—	2	4	no	—
72	#493	—	2	4	no	—
73	#493	—	2	4	no	—
74	#493	—	2	4	no	—
75	#493	—	4	16	no	—
76	#492	—	2	4	no	—
77	#492	—	2	4	no	—
78	#492	—	2	4	no	—
79	#492	—	2	4	no	—
80	#492	—	2	4	no	—
81	#487	—	2	4	no	—
82	#486	—	2	4	no	—
83	#486	—	2	4	no	—
84	#486	—	2	4	no	—
85	#486	—	2	4	no	—
86	#486	—	2	4	no	—
87	#486	—	2	4	no	—
88	#486	—	2	4	no	—
89	#486	—	2	4	no	—
90	#486	—	2	4	no	—
91	C₂×#106	—	2	2	no	—
92	C₂×#103	—	2	2	no	—
93	C₂×#102	—	2	4	no	—
94	C₂×#102	—	2	4	no	—
95	C₂×#102	—	2	2	no	—
96	C₂×#102	—	2	4	no	—
97	C₂×#102	—	2	4	no	—
98	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#391	—	2	2	no	—
105	#391	—	2	2	no	—
106	#390	—	2	2	no	—
107	#390	—	2	2	no	—
108	#382	—	2	2	no	—
109	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#336	D₄	1	4	yes	—
111	#322	D₄	1	8	yes	complemented
112	#322	D₄	1	8	yes	complemented
113	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
133	C₂×D₈	—	4	16	no	—
134	C₂×D₈	—	4	16	no	—
135	C₂×D₈	—	4	8	no	—
136	C₂×D₈	—	4	8	no	—
137	C₂×D₈	—	4	8	no	—
138	C₂×D₈	—	4	8	no	—
139	C₂×D₈	—	4	16	no	—
140	C₂×D₈	—	8	8	no	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	2	2	no	—
161	#127	—	4	8	no	—
162	#127	—	4	8	no	—
163	#127	—	4	8	no	—
164	#127	—	4	8	no	—
165	#127	—	8	4	no	—
166	#127	—	8	4	no	—
167	#124	—	4	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	#106	—	4	4	no	—
180	#103	—	4	4	no	—
181	#102	—	4	8	no	—
182	#102	—	4	8	no	—
183	#102	—	4	8	no	—
184	#102	—	4	8	no	—
185	#102	—	4	4	no	—
186	#97	—	2	8	no	—
187	C₄×C₈	—	2	8	no	—
188	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	#95	—	4	4	no	—
195	C₂⁴	—	4	1	no	—
196	C₂⁴	—	4	2	no	—
197	C₂⁴	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	1	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	1	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	8	8	no	—
231	C₂×D₄	—	8	8	no	—
232	C₂×D₄	—	8	8	no	—
233	C₂×D₄	—	8	8	no	—
234	C₂×D₄	—	8	8	no	—
235	C₂×D₄	—	8	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	SD₁₆	—	8	16	no	—
244	SD₁₆	—	8	16	no	—
245	SD₁₆	—	8	8	no	—
246	D₈	—	8	16	no	—
247	D₈	—	8	16	no	—
248	D₈	—	8	16	no	—
249	D₈	—	8	16	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
254	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
255	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
270	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	1	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	—	8	4	no	—
277	C₂³	—	8	4	no	—
278	C₂³	—	8	4	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	—	8	4	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	8	2	no	—
286	Q₈	—	8	4	no	—
287	Q₈	—	8	2	no	—
288	Q₈	—	8	4	no	—
289	D₄	—	8	4	no	—
290	D₄	—	8	4	no	—
291	D₄	—	8	2	no	—
292	D₄	—	8	4	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	8	2	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	D₄	—	8	4	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	D₄	—	8	4	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	16	16	no	—
306	D₄	—	16	16	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	1	no	—
310	C₂×C₄	—	8	1	no	—
311	C₂×C₄	—	8	1	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	#496	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
323	C₈	—	2	4	no	—
324	C₈	—	2	8	no	—
325	C₈	—	2	8	no	—
326	C₈	#496	1	8	yes	complemented
327	C₂²	—	16	2	no	—
328	C₂²	—	16	2	no	—
329	C₂²	—	16	1	no	—
330	C₂²	—	16	1	no	—
331	C₂²	—	16	2	no	—
332	C₂²	—	16	2	no	—
333	C₂²	—	16	1	no	—
334	C₂²	—	16	2	no	—
335	C₂²	—	16	2	no	—
336	C₂²	—	16	8	no	—
337	C₂²	—	16	8	no	—
338	C₂²	—	16	4	no	—
339	C₂²	#2867	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#496	1	2	yes	—
341	C₂²	#3151	1	2	yes	—
342	C₂²	#3155	1	2	yes	—
343	C₄	—	2	8	no	—
344	C₄	—	16	1	no	—
345	C₄	—	16	1	no	—
346	C₄	—	16	1	no	—
347	C₄	C₂×#496	1	2	yes	—
348	C₄	#3151	1	2	yes	—
349	C₄	#3151	1	4	yes	—
350	C₄	#3155	1	4	yes	—
351	C₂	—	32	2	no	—
352	C₂	—	32	2	no	—
353	C₂	—	32	1	no	—
354	C₂	#19676	1	4	yes	—
355	C₂	#33304	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#33304	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#33308	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33304	C₂	semidirect
2. #33301	C₂	semidirect
3. #33239	C₂	semidirect
4. #33235	C₂	semidirect
5. #30259	C₂	semidirect
6. #30258	C₂	semidirect
7. C₂×#1721	C₂	semidirect
8. C₂×#1721	C₂	semidirect
9. C₂×#1717	C₂	semidirect
10. C₂×#1715	C₂	semidirect
11. #7842	C₂	semidirect
111. #322	D₄	semidirect
112. #322	D₄	semidirect
326. C₈	#496	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33304	2
#33301	2
#33239	2
#33235	2
#30259	2
#30258	2
C₂×#1721	2
C₂×#1717	2
C₂×#1715	2
#7842	2