Subgroups — #35301

Order 256.

1413 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2854	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2628	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2619	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2610	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2598	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2591	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2539	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2406	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2404	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2324	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#532	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#117	—	2	8	no	—
29	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#399	C₂²	1	4	yes	—
41	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#393	C₂²	1	4	yes	—
45	#392	C₂²	1	4	yes	—
46	#392	C₂²	1	4	yes	—
47	#390	C₂²	1	8	yes	—
48	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#386	C₂²	1	8	yes	—
53	#386	C₂²	1	4	yes	—
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#386	C₂²	1	8	yes	—
56	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#381	C₂²	1	2	yes	—
60	#380	C₂²	1	4	yes	—
61	#380	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#41	—	2	8	no	—
67	C₂×#41	—	4	8	no	—
68	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
86	#127	—	2	4	no	—
87	#124	—	2	8	no	—
88	#123	—	4	8	no	—
89	#121	—	2	8	no	—
90	#121	—	2	8	no	—
91	#121	—	2	16	no	—
92	#120	—	4	8	no	—
93	C₄×D₄	—	2	8	no	—
94	C₄×D₄	—	2	8	no	—
95	#117	—	2	8	no	—
96	#117	—	2	8	no	—
97	#117	—	2	8	no	—
98	#117	—	2	8	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	#95	C₂³	1	4	yes	—
134	#95	C₂³	1	4	yes	—
135	#95	C₂³	1	8	yes	—
136	#95	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂⁴	—	2	2	no	—
138	C₂⁴	—	2	4	no	—
139	C₂⁴	—	2	4	no	—
140	C₂⁴	—	4	2	no	—
141	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	#41	—	4	32	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	2	16	no	—
151	C₂×D₄	—	2	4	no	—
152	C₂×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	4	no	—
154	C₂×D₄	—	2	8	no	—
155	C₂×D₄	—	4	4	no	—
156	C₂×D₄	—	4	4	no	—
157	C₂×D₄	—	4	8	no	—
158	C₂×D₄	—	4	8	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	complemented
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	4	4	no	—
214	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	8	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	8	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	4	16	no	—
231	C₂³	—	4	4	no	—
232	C₂³	—	4	4	no	—
233	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
235	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
236	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
237	Q₈	—	4	8	no	—
238	D₄	—	4	8	no	—
239	D₄	—	4	8	no	—
240	D₄	—	4	16	no	—
241	D₄	—	4	8	no	—
242	D₄	—	8	16	no	—
243	C₂×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	16	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	16	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	2	no	—
279	C₂²	—	2	8	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	8	no	—
282	C₂²	—	4	16	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	—	4	2	no	—
285	C₂²	—	4	4	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	4	8	no	—
290	C₂²	—	4	8	no	—
291	C₂²	#535	1	4	yes	—
292	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
294	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
295	C₂²	#585	1	2	yes	—
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	2	2	no	—
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	4	2	no	—
303	C₄	—	4	4	no	—
304	C₄	—	4	2	no	—
305	C₄	—	4	8	no	—
306	C₄	#525	1	4	yes	—
307	C₂	—	2	4	no	—
308	C₂	—	4	4	no	—
309	C₂	—	8	4	no	—
310	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
311	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#3494	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#532	C₂	semidirect
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
3. #2854	C₂	semidirect
4. #2847	C₂	semidirect
5. #2628	C₂	semidirect
6. #2619	C₂	semidirect
7. #2610	C₂	semidirect
8. #2598	C₂	semidirect
9. #2591	C₂	semidirect
10. #2539	C₂	semidirect
11. #2406	C₂	semidirect
12. #2404	C₂	semidirect
13. #2324	C₂	semidirect
14. #2283	C₂	semidirect
18. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
19. C₂×#127	C₂²	semidirect
20. C₂×#124	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
39. #400	C₂²	semidirect
41. #395	C₂²	semidirect
42. #394	C₂²	semidirect
43. #394	C₂²	semidirect
48. #390	C₂²	semidirect
49. #389	C₂²	semidirect
50. #388	C₂²	semidirect
51. #388	C₂²	semidirect
56. #385	C₂²	semidirect
57. #383	C₂²	semidirect
58. #382	C₂²	semidirect
62. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
64. #376	C₂²	semidirect
123. C₂×C₄²	D₄	semidirect
180. C₂²×C₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
C₂²×#117	2
#2854	2
#2847	2
#2628	2
#2619	2
#2610	2
#2598	2
#2591	2
#2539	2
#2406	2
#2404	2
#2324	2
#2283	2