Subgroups — #35302

Order 256.

1267 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2854	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2847	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#2629	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2620	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2609	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2601	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2579	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2411	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#2323	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#529	—	2	8	no	—
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×#117	—	2	8	no	—
34	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#396	C₂²	1	4	yes	—
49	#396	C₂²	1	4	yes	—
50	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#394	C₂²	1	4	yes	—
53	#394	C₂²	1	4	yes	—
54	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#390	C₂²	1	4	yes	—
56	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#388	C₂²	1	4	yes	—
61	#388	C₂²	1	4	yes	—
62	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#386	C₂²	1	2	yes	—
67	#386	C₂²	1	2	yes	—
68	#386	C₂²	1	4	yes	—
69	#386	C₂²	1	4	yes	—
70	#385	C₂²	1	2	yes	—
71	#385	C₂²	1	2	yes	—
72	#385	C₂²	1	4	yes	—
73	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
75	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
76	#381	C₂²	1	2	yes	—
77	#380	C₂²	1	2	yes	—
78	#380	C₂²	1	2	yes	—
79	#380	C₂²	1	2	yes	—
80	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#379	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
85	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#126	—	2	8	no	—
102	#125	—	2	4	no	—
103	#124	—	2	4	no	—
104	#123	—	2	8	no	—
105	#123	—	4	4	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
108	#121	—	2	4	no	—
109	#121	—	2	8	no	—
110	#120	—	4	4	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	C₄×D₄	—	2	4	no	—
114	#117	—	2	8	no	—
115	#117	—	2	8	no	—
116	#117	—	2	8	no	—
117	#117	—	2	8	no	—
118	#117	—	2	8	no	—
119	#117	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
160	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	2	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	#95	C₂³	1	4	yes	—
176	#95	C₂³	1	4	yes	—
177	C₂⁴	—	2	2	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	2	2	no	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	4	2	no	—
182	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	4	4	no	—
270	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
272	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
273	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	8	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
294	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
295	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	D₄	—	8	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	16	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	4	16	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	#537	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#585	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	#525	1	4	yes	—
383	C₂	—	2	4	no	—
384	C₂	—	4	4	no	—
385	C₂	—	8	2	no	—
386	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#3494	1	2	yes	—
390	C₂	#3495	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2847	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#529	C₂	semidirect
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
3. #2855	C₂	semidirect
4. #2854	C₂	semidirect
5. #2848	C₂	semidirect
7. #2629	C₂	semidirect
8. #2620	C₂	semidirect
9. #2609	C₂	semidirect
10. #2601	C₂	semidirect
11. #2579	C₂	semidirect
12. #2534	C₂	semidirect
13. #2413	C₂	semidirect
14. #2411	C₂	semidirect
15. #2324	C₂	semidirect
16. #2323	C₂	semidirect
17. #2285	C₂	semidirect
20. C₂×#126	C₂²	semidirect
21. C₂×#125	C₂²	semidirect
22. C₂×#124	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
39. C₂×#117	C₂²	semidirect
46. #398	C₂²	semidirect
47. #398	C₂²	semidirect
50. #396	C₂²	semidirect
51. #396	C₂²	semidirect
54. #391	C₂²	semidirect
56. #390	C₂²	semidirect
57. #389	C₂²	semidirect
58. #389	C₂²	semidirect
59. #389	C₂²	semidirect
62. #388	C₂²	semidirect
63. #388	C₂²	semidirect
64. #387	C₂²	semidirect
65. #387	C₂²	semidirect
73. #385	C₂²	semidirect
74. #384	C₂²	semidirect
75. #382	C₂²	semidirect
83. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
84. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
159. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
C₂²×#117	2
#2855	2
#2854	2
#2848	2
#2847	2
#2629	2
#2620	2
#2609	2
#2601	2
#2579	2
#2534	2
#2413	2
#2411	2
#2324	2
#2323	2
#2285	2