Subgroups — #35306

Order 256.

1541 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2857	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2621	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2620	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2417	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2415	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2413	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2412	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#536	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#525	—	2	8	no	—
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#117	—	2	8	no	—
39	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
51	#398	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#397	C₂²	1	8	yes	—
53	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#394	C₂²	1	8	yes	—
55	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
62	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
63	#386	C₂²	1	4	yes	—
64	#386	C₂²	1	8	yes	—
65	#385	C₂²	1	4	yes	—
66	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#381	C₂²	1	4	yes	—
69	#380	C₂²	1	8	yes	—
70	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
71	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#41	—	2	4	no	—
73	C₂×#41	—	2	4	no	—
74	C₂×#41	—	2	4	no	—
75	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
76	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
77	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
99	#124	—	2	8	no	—
100	#123	—	2	8	no	—
101	#123	—	2	16	no	—
102	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
109	#121	—	2	4	no	—
110	#121	—	2	4	no	—
111	#120	—	2	8	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	C₄×D₄	—	2	8	no	—
114	#117	—	2	4	no	—
115	#117	—	2	4	no	—
116	#117	—	2	8	no	—
117	#117	—	2	8	no	—
118	#117	—	2	8	no	—
119	#117	D₄	1	8	yes	complemented
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	#95	C₂³	1	8	yes	—
156	#95	C₂³	1	8	yes	—
157	#95	C₂³	1	8	yes	—
158	#95	C₂³	1	8	yes	—
159	C₂⁴	—	2	2	no	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	4	2	no	—
163	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	#41	—	4	16	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
283	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	4	8	no	—
286	Q₈	—	4	8	no	—
287	Q₈	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	8	no	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	#121	1	16	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	4	16	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
352	C₂²	#536	1	4	yes	complemented
353	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
357	C₂²	#585	1	2	yes	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	8	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
368	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
369	C₂	—	2	4	no	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	4	2	no	—
372	C₂	—	8	2	no	—
373	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#3489	1	2	yes	—
377	C₂	#3495	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#536	C₂	semidirect
3. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
4. C₂²×#117	C₂	semidirect
5. #2857	C₂	semidirect
6. #2850	C₂	semidirect
7. #2621	C₂	semidirect
8. #2620	C₂	semidirect
9. #2417	C₂	semidirect
10. #2415	C₂	semidirect
11. #2413	C₂	semidirect
12. #2412	C₂	semidirect
13. #2317	C₂	semidirect
14. #2311	C₂	semidirect
15. #2310	C₂	semidirect
20. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×#124	C₂²	semidirect
32. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
51. #398	C₂²	semidirect
53. #396	C₂²	semidirect
55. #391	C₂²	semidirect
56. #391	C₂²	semidirect
57. #391	C₂²	semidirect
58. #391	C₂²	semidirect
59. #390	C₂²	semidirect
60. #389	C₂²	semidirect
61. #389	C₂²	semidirect
62. #388	C₂²	semidirect
66. #384	C₂²	semidirect
67. #382	C₂²	semidirect
70. #380	C₂²	semidirect
119. #117	D₄	semidirect
352. C₂²	#536	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#536	2
C₂×#525	2
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
C₂²×#117	2
#2857	2
#2850	2
#2621	2
#2620	2
#2417	2
#2415	2
#2413	2
#2412	2
#2317	2
#2311	2
#2310	2